On the theory and application of model misspecification tests in geodesy

Abstract

Many geodetic testing problems concerning parametric hypotheses may be formulated within the framework of testing linear constraints imposed on a linear Gauss-Markov model. Although geodetic standard tests for such problems are computationally convenient and intuitively sound, no rigorous attempt has yet been made to derive them from a unified theoretical foundation or to establish optimality of such procedures. Another shortcoming of current geodetic testing theory is that no standard approach exists for tackling analytically more complex testing problems, concerning for instance unknown parameters within the weight matrix. <br /> To address these problems, it is proven that, under the assumption of normally distributed observation, various geodetic standard tests, such as Baarda's or Pope's test for outliers, multivariate significance tests, deformation tests, or tests concerning the specification of the a priori variance factor, are uniformly most powerful (UMP) within the class of invariant tests. UMP invariant tests are proven to be equivalent to likelihood ratio tests and Rao's score tests. It is also shown that the computation of many geodetic standard tests may be simplified by transforming them into Rao's score tests.<br /> Finally, testing problems concerning unknown parameters within the weight matrix such as autoregressive correlation parameters or overlapping variance components are addressed. It is shown that, although strictly optimal tests do not exist in such cases, corresponding tests based on Rao's Score statistic are reasonable and computationally convenient diagnostic tools for deciding whether such parameters are significant or not. The thesis concludes with the derivation of a parametric test of normality as another application of Rao's Score test.

<b>Zur Theorie und Anwendung von Modell-Misspezifikationstests in der Geodäsie</b><br /> Was das Testen von parametrischen Hypothesen betrifft, so lassen sich viele geodätische Testprobleme in Form eines Gauss-Markov-Modells mit linearen Restriktionen darstellen. Obwohl geodätische Standardtests rechnerisch einfach und intuitiv vernünftig sind, wurde bisher kein strenger Versuch unternommen, solche Tests ausgehend von einer einheitlichen theoretischen Basis herzuleiten oder die Optimalität solcher Tests zu begründen. Ein weiteres Defizit im gegenwärtigen Verständnis geodätischer Testtheorie besteht darin, dass kein Standardverfahren zum Lösen von analytisch komplexeren Testproblemen exisitiert, welche beispielsweise unbekannte Parameter in der Gewichtsmatrix betreffen.<br /> Um diesen Problemen gerecht zu werden wird bewiesen, dass unter der Annahme normalverteilter Beobachtungen verschiedene geodätische Standardtests, wie z.B. Baardas oder Popes Ausreissertest, multivariate Signifikanztests, Deformationstests, oder Tests bzgl. der Angabe des a priori Varianzfaktors, allesamt gleichmäßig beste (engl.: uniformly most powerful - UMP) invariante Tests sind. Es wird ferner bewiesen dass UMP invariante Tests äquivalent zu Likelihood-Quotienten-Tests und Raos Score-Tests sind. Ausserdem wird gezeigt, dass sich die Berechnung vieler geodätischer Standardtests vereinfachen lässt indem diese als Raos Score-Tests formuliert werden.<br /> Abschließend werden Testprobleme behandelt in Bezug auf unbekannte Parameter innerhalb der Gewichtsmatrix, beispielsweise in Bezug auf autoregressive Korrelationsparameter oder überlappende Varianzkomponenten. In solchen Fällen existieren keine im strengen Sinne besten Tests. Es wird aber gezeigt, dass entsprechende Tests, die auf Raos Score-Statistik beruhen, sinnvolle und vom Rechenaufwand her günstige Diagnose-Tools darstellen um festzustellen, ob Parameter wie die eingangs erwähnten signifikant sind oder nicht. Am Ende dieser Dissertation steht mit der Herleitung eines parametrischen Tests auf Normalverteilung eine weitere Anwendung von Raos Score-Test.