Jump processes with variable scaling parameters

Abstract

The leitmotif of this thesis is non-locality. More precisely, it deals with a class of pure jump processes with space-dependent jump measures and with related non-local integrodifferential operators. Such objects arise in different contexts for example in partial differential equations. They have drawn increasing interest also by practioneers in the last years. This thesis wants to enlighten some important aspects of this theory. Each chapter contains results which are each of a different flavor.<br /> Chapter 1 describes the general framework and surveys some results. Chapters 2 and 3 both study questions of regularity of solutions of non-local integro-differential operators - the first one by analytic means, i.e. pseudodifferential operator techniques, the second one by probabilistic means. Finally, chapter 4 studies Markov chain approximations of related jump processes. All chapters are self-contained. The results of Chapter 4 are published in [HK07] while the results of Chapter 2 and Chapter 3 are accepted for publication, see [AH08] and [HK09].

<strong>Sprungprozesse mit variablen Skalierungsparametern</strong><br /> Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit einer Klasse von Markovschen Prozessen und den korrespondierenden nichtlokalen Integrodifferentialoperatoren bzw. Dirichlet-Formen. Die hier betrachteten stochastischen Prozesse sind reine Sprungprozesse, besitzen also keine diffusive Komponente, und zeichnen sich durch zustandsabhängige Sprungmaße mit unendlicher Intensität aus. Sie haben Pfadeigenschaften ähnlich denen alphastabiler Prozesse, d.h. ein typischer Pfad besitzt in jedem beliebig kleinem offenen Zeitintervall einen Sprung.<br /> Der erste Teil der Arbeit beschäftigt sich mit Fragen der Regularität harmonischer Funktionen, wobei hier nicht harmonisch im klassischen Sinne gemeint ist, sondern harmonisch bezüglich des stochastischen Prozesses bzw. des entsprechenden Operators. Einerseits wird in dem einfachsten Fall eines Lévy-Prozesses der Frage nachgegangen, wann Funktionen, die harmonisch in einem Gebiet sind, dort auch glatt sind. Dafür werden hinreichende Kriterien an das Lévy-Maß angegeben. Anderseits wird gezeigt, wie man mittels degenerierter Krylov-Savanof-Abschätzungen a-priori-Abschätzungen für den Stetigkeitsmodul beschränkter harmonischer Funktionen gewinnen kann. Dieses Resultat hat interessante Anwendungen.<br /> Schließlich wird im zweiten Teil gezeigt, wie sich eine Klasse von Sprungprozessen mit Hilfe von Markov-Ketten approximieren läßt. Ein entsprechendes Resultat für Diffusionen stammt von Stroock und Zheng (1997).