Analytische und <em>p</em>−adische Aspekte von klassischen und Mock-Modulformen

Abstract

Ausgangsfrage dieser Doktorarbeit war die Gleichverteilung von geschlossenen Geodaetischen im Fundamentalbereich der Modulgruppe in der hyperbolischen Geometrie. Das fuehrt auf das Studium der Eigenfunktionen des Laplaceoperators bzw. auf Korrespondenzen unterschiedlicher Maassformen. Hauptthema der Arbeit ist die Verallgemeinerung von Modulformen auf Eigenfunktionen mit Singularitaeten in den Spitzen des Fundamentalbereichs. <br /> Es kommt die Integration von Maassformen ueber geschlossene Geodaetische, Thetafunktionen zu indefiniten quadratischen Formen sowie die Konstruktion von Kernfunktionen fuer allgemeine Thetakorrespondenzen zur Anwendung. Im zweiten Teil "Mock-Modulformen" geht es um Regularisierung von divergenten Integralen, mit deren Hilfe L-Reihen fuer schwach-holomorphe Modulformen konstruiert werden. Die Fortsetzung von Eichlerintegralen bzw. Mock-Modulformen ueber den Rand des Konvergenzbereichs hinaus kommen zur Anwendung. P-adische und adelische Methoden sind entscheidend fuer den letzten Abschnitt ueber Kongruenzen von Modulformen, ebenso wie algebraische Zahlentheorie einschliesslich Galoistheorie, als besonders klares Beispiel CM-Modulformen wie auch Jacobiformen.<br /> Die Gleichverteilung von Geodaetischen in vertikaler Richtung wird bewiesen. Ich konstruiere eine Kernfunktion, die den Zagierlift als Thetakorrespondenz interpretiert. In den Spitzen gibt es doppelt exponentielle Konvergenz. Dadurch lassen sich schwach-holomorphe und Mock-Modulformen liften und die Fourierkoeffizienten berechnen. Es werden sehr allgemeine Kongruenzen fuer die Fourierkoeffizienten von schwach-holomorphen Modulformen bewiesen. Das ermoeglicht es, Fragen nach der Ganzzahligkeit der Fourierkoeffizienten von Mock-Modulformen (negativ) zu beantworten. <br /> Viele Eigenschaften von Spitzenformen uebertragen sich auf schwach-holomorphe und Mock-Modulformen: L-Werte von schwach-holomorphen Modulformen im kritischen Streifen verallgemeinern Eulers Berechnungen der Riemannschen Zetafunktion fuer gerade natuerliche Zahlen. Schwach-holomorphe Modulformen haben algebraische Basen entsprechend den Heckespitzenformen. Die p-adischen Fourierkoeffizienten all dieser Modulformen weisen interessante fraktale Muster auf.