Convex Optimization for Inequality Constrained Adjustment Problems

Abstract

Whenever a certain function shall be minimized (e.g., a sum of squared residuals) or maximized (e.g., profit) optimization methods are applied. If in addition prior knowledge about some of the parameters can be expressed as bounds (e.g., a non-negativity bound for a density) we are dealing with an optimization problem with inequality constraints. Although, common in many economic and engineering disciplines, inequality constrained adjustment methods are rarely used in geodesy.<br /> Within this thesis methodology aspects of convex optimization methods are covered and analogies to adjustment theory are provided. Furthermore, three shortcomings are identified which are - in the opinion of the author - the main obstacles that prevent a broader use of inequality constrained adjustment theory in geodesy. First, most optimization algorithms do not provide quality information of the estimate. Second, most of the existing algorithms for the adjustment of rank-deficient systems either provide only one arbitrary particular solution or compute only an approximative solution. Third, the Gauss-Helmert model with inequality constraints was hardly treated in the literature so far. We propose solutions for all three obstacles and provide simulation studies to illustrate our approach and to show its potential for the geodetic community.<br /> Thus, the aim of this thesis is to make accessible the powerful theory of convex optimization with inequality constraints for classic geodetic tasks.

<strong>Konvexe Optimierung für Ausgleichungsaufgaben mit Ungleichungsrestriktionen</strong><br /> Methoden der konvexen Optimierung kommen immer dann zum Einsatz, wenn eine Zielfunktion minimiert oder maximiert werden soll. Prominente Beispiele sind eine Minimierung der Verbesserungsquadratsumme oder eine Maximierung des Gewinns. Oft liegen zusätzliche Vorinformationen über die Parameter vor, die als Ungleichungen ausgedrückt werden können (beispielsweise eine Nicht-Negativitätsschranke für eine Dichte). In diesem Falle erhält man ein Optimierungsproblem mit Ungleichungsrestriktionen. Ungeachtet der Tatsache, dass Methoden zur Ausgleichungsrechnung mit Ungleichungen in vielen ökonomischen und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen weit verbreitet sind, werden sie dennoch in der Geodäsie kaum genutzt.<br /> In dieser Arbeit werden methodische Aspekte der konvexen Optimierung behandelt und Analogien zur Ausgleichungsrechnung aufgezeigt. Desweiteren werden drei große Defizite identifiziert, die - nach Meinung des Autors - bislang eine häufigere Anwendung von restringierten Ausgleichungstechniken in der Geodäsie verhindern. Erstens liefern die meisten Optimierungsalgorithmen ausschließlich eine Schätzung der unbekannten Parameter, jedoch keine Angabe über deren Genauigkeit. Zweitens ist die Behandlung von rangdefekten Systemen mit Ungleichungsrestriktionen nicht trivial. Bestehende Verfahren beschränken sich hier zumeist auf die Angabe einer beliebigen Partikulärlösung oder ermöglichen gar keine strenge Berechnung der Lösung. Drittens wurde das Gauß-Helmert-Modell mit Ungleichungsrestriktionen in der Literatur bisher so gut wie nicht behandelt. Lösungsmöglichkeiten für alle genannten Defizite werden in dieser Arbeit vorgeschlagen und kommen in Simulationsstudien zum Einsatz, um ihr Potential für geodätische Anwendungen aufzuzeigen.<br /> Diese Arbeit soll somit einen Beitrag dazu leisten, die mächtige Theorie der konvexen Optimierung mit Ungleichungsrestriktionen für klassisch geodätische Aufgabenstellungen nutzbar zu machen.