Homotopy-Theoretic Studies of Khovanov-Rozansky Homology

Abstract

This dissertation applies homotopy-theoretic methods to the study of Khovanov-Rozansky homology, a generalization of Khovanov homology (which in turn categorifies the Jones polynomial) that is constructed using categories of matrix factorizations: these are variants of chain complexes for which we have δ² ≠ 0 and for which therefore no homotopy theory in terms of ordinary derived categories is available. <br /> In this work I study alternative approaches to the construction of homotopy theories for matrix factorizations, and more generally categories of curved modules and singularity categories, and describe the use of these homotopy-theoretic considerations to the understanding of Khovanov-Rozansky homology. The dissertation consists of a knot-theoretic part focusing on concrete applications of homotopy-theoretic techniques to Khovanov-Rozansky homology, and a homotopy-theoretic part, in which these techniques are developed independently and with the aim of large generality in the context of the theory of abelian model structures. <br /> The central results of the knot-theoretic part are the following: Firstly, the development of a conceptual definition of stable Hochschild homology and the description of Khovanov-Rozansky homology as stable Hochschild homology of Rouquier complexes of Soergel bimodules. These are well-known from representation theory and also play an important role in the construction of other knot invariants. Further, the classical knowledge about the combinatorics of Rouquier complexes leads to a direct proof of the fact that Khovanov-Rozansky homology is indeed a knot invariant. Afterwards, the introduction of a combinatorial approximation to Khovanov-Rozansky homology through a diagrammatic calculus similar to ones that can be used for the definition of the Jones polynomial and Khovanov homology. <br /> The central results of the homotopy-theoretic part are the following: Firstly, the construction of abelian model structures for categories of curved modules and singularity categories, on the basis of general techniques for the localization and the proof of cofibrant generation of abelian model structures. Afterwards, the discussion of numerous examples and enrichments of classical equivalences and recollements between triangulated categories to the level of model categories. Finally, the construction of a realization functor from the derived category of an Grothendieck abelian category <em>A</em> to the homotopy category of any reasonable abelian model structure on <em>A</em>, by means of constructing a Quillen equivalent abelian model structure on the category of chain complexes over A<em>.</em>

In dieser Dissertation widme ich mich der homotopietheoretischen Untersuchung der Khovanov-Rozansky Homologie, einer 2004 gefundenen Invariante von Knoten und Verschlingungen im Raum. Sie ist eine Verallgemeinerung der Khovanov-Homologie, welche wiederum das Jones-Polynom verfeinert, und wird mit Hilfe von Matrixfaktorisierungen konstruiert: das sind Varianten von Kettenkomplexen, in denen δ² 6 ≠ 0 gilt, und f ur die daher keine uber derivierte Kategorien erkl arte Homotopietheorie zur Verf ugung steht.<br /> Ich untersuche in dieser Arbeit alternative Ans atze zur Konstruktion von Homotopietheorien für Matrixfaktorisierungen, allgemeiner f ur Kategorien gekrümmter Moduln sowie Singularit atenkategorien, und beschreibe den Nutzen dieser homotopietheoretischen Betrachtungen für das Verständnis der Khovanov-Rozansky Homologie. Die Arbeit besteht daher aus einem knotentheoretischen Teil, in dem konkrete Anwendungen homotopietheoretischer Techniken auf die Khovanov-Rozansky Homologie diskutiert werden, sowie einem homotopietheoretischen Teil, in dem diese Techniken im Rahmen der Theorie abelscher Modellkategorien unabhängig und möglichst allgemein entwickelt werden.<br /> Die zentralen Ergebnisse des knotentheoretischen Teils sind die folgenden: Zunächst das Erarbeiten einer konzeptionellen Definition stabiler Hochschild Homologie sowie die Beschreibung von Khovanov-Rozansky Homologie als stabile Hochschild Homologie von Rouquier Komplexen von Soergel Bimoduln. Letztere sind aus der Darstellungstheorie wohlbekannt und spielen auch bei der Konstruktion anderer Knoteninvarianten eine zentrale Rolle. Ferner lässt sich das Wissen über die Kombinatorik der Rouquier Komplexe verwenden um einen direkten Nachweis darüber zu erbringen, dass Khovanov-Rozansky Homologie eine Knoteninvariante ist. Anschließend die Entwicklung einer kombinatorischen Approximation an die Khovanov-Rozansky Homologie durch einen diagrammatischen Kalkül ähnlich denjenigen, die zur Definition des Jones-Polynoms und der Khovanov Homologie herangezogen werden können.<br /> Die zentralen Ergebnisse des homotopietheoretischen Teils sind die folgenden: Zunächst die Konstruktion abelscher Modellstrukturen auf Kategorien gekrümmter Moduln sowie Singularit atenkategorien, auf Grundlage zuvor bereitgestellter allgemeiner Techniken zur Lokalisierung abelscher Modellstrukturen und zum Nachweis von deren kofasernder Erzeugtheit. Anschließend Diskussion zahlreicher Beispiele und Anreichern klassischer Äquivalenzen und Recollements zwischen triangulierten Kategorien zu Aussagen auf der Ebene der Modellkategorien. Zuletzt die Konstruktion eines Realisierungsfunktors D(<em>A</em> ) → Ho(<em>M</em>) zwischen der derivierten Kategorie einer Grothendieck-Kategorie <em>A</em> und der Homotopiekategorie einer "guten" abelschen Modellstruktur <em>M</em> auf <em>A</em> über die Konstruktion einer zu <em>M</em> äquivalenten Modellstruktur auf Ch(<em>A</em> ).