Circumplex Analysis: Addressing Methodological Challenges of Data With Circular Structure

Abstract

Many psychological traits, such as interpersonal behavior, values, and affect, can be described by a circular structure (e.g., Gurtman, 1993; Russell et al., 1989; Schwartz et al., 2012; Wiggins, 1979). Circumplex models assume specific geometric arrangements of variables, reflected in correlational patterns or factor loadings on two orthogonal axes (L. Guttman, 1954; Tracey, 1997). Factor analysis and principal component analysis (PCA) are widely used to examine such structures. For example, the interpersonal circumplex is defined by the two factors Dominance and Love and underlies popular measures such as the Interpersonal Adjective Scales (IAS; Jacobs & Scholl, 2005) and the Inventory of Interpersonal Problems (IIP; Horowitz et al., 2017). Many models are based on evenly spaced subscales around the circle, and some additionally incorporate an overarching general factor (e.g., overall interpersonal distress in the IIP). <br/> A key challenge in developing circumplex instruments is assigning items to subscales, as adjacent subscales are closely related both conceptually and geometrically. Existing approaches often rely on subjective visual inspection and do not guarantee optimal circumplex spacing. To address methodological challenges in circumplex research, this thesis examined factor analytic approaches as widely used methods for circumplex analysis and developed a new clustering method tailored to circular data. <br/> Study 1 investigated local optima in factor rotation procedures, a well-known issue for various rotation methods (Weide & Beauducel, 2019). A simulation study compared Varimax rotation based on the gradient projection algorithm (GPA) as a newer method (Bernaards & Jennrich, 2005) to the traditional Kaiser algorithm (Kaiser, 1958) in PCA. Results showed that GPA-Varimax performed comparably to the Kaiser algorithm but was vulnerable to local optima under circumplex conditions. Using multiple random starts effectively overcame this issue and resulted in better performance than the Kaiser algorithm. These findings indicate that GPA-Varimax, combined with multiple starts, is a valuable alternative to established methods, particularly in the presence of local optima, as found in circumplex structures. <br/> Study 2 modeled the higher-level structure of the IIP based on two circumplex factors (Dominance, Love) and a general factor of interpersonal difficulties (Distress) in data from 822 participants (Weide et al., 2021). Bayesian confirmatory factor analysis outperformed traditional frequentist confirmatory and exploratory approaches in terms of model fit and parameter robustness. Different higher-level scoring methods produced reliable scores and preserved circumplex properties. External validity of the factor models and higher-level scores was supported by expected associations with Big Five traits Agreeableness, Extraversion, and Neuroticism as well as with narcissism. The findings support both Bayesian modeling in circumplex analysis and the use of higher-level scores for the IIP. <br/> Study 3 addressed the lack of objective methods for clustering items into circumplex subscales (Weide et al., 2025). I developed ClusterCirc, a clustering approach that simultaneously optimizes circumplexity at the item and subscale levels while promoting even spacing around the circle. Simulations showed that ClusterCirc consistently outperformed traditional cluster analysis based on Wards method and k-means clustering in the identification of circumplex clusters. Applied to a German IAS dataset, ClusterCirc reproduced most original subscales while improving circumplex fit in empirical data. To facilitate the use of ClusterCirc, I developed an R package and SPSS syntax implementing the method (https://github.com/ancleo/ClusterCirc; https://github.com/ancleo/ClusterCirc_SPSS). <br/> Despite these contributions, limitations of the thesis research include the use of nonclinical convenience samples and relatively short measures for external variables. Future research should examine additional circular constructs, more complex violations of circumplex assumptions, and combinations of factor rotation procedures with ClusterCirc to further improve circumplex modeling.

<strong>Circumplex-Analyse: Umgang mit methodischen Herausforderungen bei Daten mit kreisförmiger Struktur</strong><br/> Viele psychologische Merkmale, wie interpersonelles Verhalten, Werte und Affekt, können durch eine kreisförmige Struktur beschrieben werden (z. B. Gurtman, 1993; Russell et al., 1989; Schwartz et al., 2012; Wiggins, 1979). Circumplex-Modelle gehen von einer spezifischen geometrischen Anordnung von Variablen aus, die sich in Korrelationsmustern oder Faktorladungen auf zwei orthogonalen Achsen widerspiegeln (L. Guttman, 1954; Tracey, 1997). Faktorenanalyse und Hauptkomponentenanalyse (HKA) werden häufig verwendet, um solche Strukturen zu untersuchen. Beispielsweise wird der interpersonelle Circumplex durch die zwei Faktoren Dominanz und Liebe definiert und bildet die Grundlage für bekannte Maße wie die Interpersonelle Adjektivliste (IAL; Jacobs & Scholl, 2005) und das Inventar interpersoneller Probleme (IIP; Horowitz et al., 2013). Viele Circumplex-Modelle basieren auf gleichmäßig um den Kreis verteilten Subskalen; einige beinhalten zusätzlich einen Generalfaktor (z. B. allgemeine interpersonelle Schwierigkeiten im IIP). <br/> Eine zentrale Herausforderung in der Entwicklung von Circumplex-Fragebögen besteht in der Zuordnung von Items zu Subskalen, da benachbarte Subskalen konzeptuell und geometrisch nah beieinanderliegen. Bestehende Ansätze beruhen häufig auf subjektiver visueller Inspektion und gewährleisten keine optimale Circumplex-Struktur. Um methodische Herausforderungen der Circumplex-Forschung zu adressieren, untersuchte diese Dissertation faktoranalytische Ansätze und entwickelte ein neues Clustering-Verfahren für Daten mit Circumplex-Struktur. <br/> Studie 1 untersuchte lokale Optima in Faktorenrotationsverfahren, ein bekanntes Problem verschiedener Rotationsmethoden (Weide & Beauducel, 2019). Eine Simulationsstudie verglich Varimax-Rotation basierend auf dem Gradientenprojektionsalgorithmus (GPA) mit dem traditionellen Kaiser-Algorithmus in der HKA. Die Ergebnisse zeigten vergleichbare Leistungen, aber eine höhere Anfälligkeit von GPA-Varimax für lokale Optima unter Circumplex-Bedingungen. Die Verwendung mehrerer Zufalls-Startwerte überwand dieses Problem und führte zu besseren Ergebnissen als der Kaiser-Algorithmus. GPA-Varimax in Kombination mit mehreren Startwerten stellt somit eine wertvolle Alternative zu etablierten Methoden dar, insbesondere bei Strukturen mit lokalen Optima wie im Circumplex-Fall. <br/> Studie 2 modellierte die Struktur höherer Ordnung des IIP anhand zweier Circumplex-Faktoren (Dominanz, Liebe) und eines Generalfaktors interpersoneller Schwierigkeiten (Distress) in Daten von 822 Teilnehmenden (Weide et al., 2021). Die Bayessche konfirmatorische Faktorenanalyse übertraf traditionelle frequentistisch-konfirmatorische und exploratorische Verfahren hinsichtlich Modellgüte und Robustheit der Parameterschätzungen. Darüber hinaus erwiesen sich verschiedene Verfahren für Scores höherer Ordnung als reliabel und valide hinsichtlich der Circumplex-Struktur. Die externe Validität der Faktorenmodelle und Scoring-Verfahren wurde durch erwartete Zusammenhänge mit Big-Five-Persönlichkeitsmerkmalen Verträglichkeit, Extraversion und Neurotizismus sowie Narzissmus gestützt. Die Ergebnisse sprechen sowohl für Bayessche Modellierung von Circumplex-Strukturen als auch für die Verwendung von Scores höherer Ordnung für das IIP. <br/> Studie 3 adressierte das Fehlen objektiver Methoden zur Clusterung von Items in Circumplex-Subskalen (Weide et al., 2025). Hierfür entwickelte ich das Clusterverfahren ClusterCirc, welches Circumplexität auf Item- und Subskalenebene optimiert und eine gleichmäßige Verteilung entlang des Kreises fördert. Simulationen zeigten, dass ClusterCirc traditionelle Clusterverfahren (Wards Methode und k-means) konsistent in der Identifikation von Circumplex-Clustern übertraf. Auf einen deutschen Datensatz der der IAL angewendet, fand ClusterCirc ähnliche Subskalen wie die Originalversion mit verbessertem Circumplex-Fit. Zur Anwendung der Methode entwickelte ich ein R-Paket sowie SPSS-Syntax (https://github.com/ancleo/ClusterCirc; https://github.com/ancleo/ClusterCirc_SPSS). <br/> Limitationen der Dissertation betreffen beispielsweise die Verwendung nichtklinischer Stichproben sowie relativ kurzer externer Maße. Zukünftige Forschung sollte weitere zirkuläre Konstrukte, komplexere Verletzungen von Circumplex-Annahmen sowie Kombinationen von Faktorenrotationsverfahren mit ClusterCirc untersuchen, um die Modellierung von Circumplex-Strukturen weiter zu verbessern.