Multiskalen-Verfahren für Konvektions-Diffusions Probleme

Abstract

In dieser Arbeit werden erstmalig über einen zur Nichtstandardform gehörenden Erzeugendensystem-Ansatz robuste Wavelet-basierte Multiskalen-Löser für allgemeine zweidimensionale stationäre Konvektions-Diffusions-Probleme entworfen und praktisch umgesetzt.<br /> Für Multiskalen-Verfahren, die lediglich direkte Unterraumzerlegungen verwenden, ist es im allgemeinen nicht mehr möglich, zugehörige Multiskalen-Glätter zu konstruieren, die im Grenzfall sehr starker Konvektion auf jeder Skala zu einem direkten Löser entarten. Als eine Möglichkeit zur Konstruktion robuster Multiskalen-Methoden bleibt die Wahl der Multiskalen-Zerlegungen selbst. Es ist sicherzustellen, dass man sowohl hinsichtlich der singulären Störung stabile Grobgitter- probleme als auch bezüglich der Maschenweite stabile Unterraum- zerlegungen erhält. Gleichzeitig muss der Aspekt der approximativen Gauss-Elimination beachtet werden, der durch das Zusammenspiel matrixabhängiger Prolongationen und Restriktionen mit einer hierarchischen Basis Zerlegung gegeben ist.<br /> Um alle diese Forderungen zu erfüllen, wird zunächst ausgehend von geometrischen Vergröberungen ein allgemeines Petrov--Galerkin Multiskalen-Konzept entwickelt, bei dem die Zerlegungen auf der Ansatz- und Testseite unterschiedlich sind. Es werden matrixabhängige Prolongationen, die von robusten Mehrgitter-Techniken her bekannt sind, verwendet, zusammen mit Wavelet-artigen und hierarchischen Multiskalen-Zerlegungen der Ansatz- und Testräume bezüglich des feinsten Gitters. Die Kernidee bei den vorgeschlagenen Verfahren ist, jeweils einen der Komplementräume auf der Ansatz- oder Testseite hierarchisch zu wählen, um zusammen mit einer problemabhängigen Vergröberung auf der anderen Seite physikalisch sinnvolle Grobgitter- diskretisierungen und gleichzeitig einen approximativen Eliminations- effekt zu erreichen. Die Komplementräume auf der entsprechend anderen Seite werden hingegen Wavelet-artig aufgespannt, was insbesondere zu einer Stabilisierung des Verfahrens bezüglich der Abhängigkeit von der Maschenweite der Diskretisierung führt. Mit den weiterhin entwickelten AMGlet-Zerlegungen, die auf rein algebraischen Prinzipien beruhen, gelingt es, geometrisch orientierte Tensorprodukt- Konstruktionen, die für separable Probleme erfolgreich sind, zu verlassen, um schwierige nichtseparable Aufgaben in unter Umständen kompliziert berandeten Gebieten behandeln zu können. Dies eröffnet darüberhinaus auch den Übergang von Modellproblemen hin zu praxisnahen Fragestellungen. <br /> Unterschiedliche numerische Beispiele zeigen, dass man durch die vorgeschlagenen Konstruktionen zu verallgemeinerten Hierarchische Basis Mehrgitter-Verfahren mit robusten Konvergenzeigenschaften gelangt.