Weikard, Ulrich: Numerische Lösungen der Cahn-Hilliard-Gleichung und der Cahn-Larché-Gleichung. - Bonn, 2003. - Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn.
Online-Ausgabe in bonndoc: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:5n-01115
@phdthesis{handle:20.500.11811/1834,
urn: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:5n-01115,
author = {{Ulrich Weikard}},
title = {Numerische Lösungen der Cahn-Hilliard-Gleichung und der Cahn-Larché-Gleichung},
school = {Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn},
year = 2003,
note = {Ziel ist die Implementierung und Analyse eines effizienten numerischen Verfahrens zur Lösung der Cahn-Hilliard- und der Cahn-Larché-Gleichung. In Kapitel 2 wird das mathematische Modell detailliert beschrieben, und die Gleichungen werden hergeleitet.
Zur Diskretisierung der Gleichungen des Modells bezüglich des Ortes haben wir einen Finite-Element-Ansatz gewählt. Bei der Zeitdiskretisierung lag der Schwerpunkt der Implementierung auf dem theta-Zwischenschritt-Verfahren. Daneben betrachten wir auch das implizite Euler- und das Crank-Nicholson-Verfahren zur Auflösung der Zeitableitung. Der Darstellung der Diskretisierung der Gleichungen mittels der genannten Verfahren ist das dritte Kapitel gewidmet.
Im vierten Kapitel dikutieren wir einige Eigenschaften der diskretisierten Gleichungen. Das Hauptergebnis ist der Beweis der Konvergenz der diskreten Lösungen der Cahn-Larché-Gleichung gegen Lösungen der Differentialgleichung. Der Beweis lehnt sich an den Existenzbeweis von H. Garcke an.
In Kapitel 5 werden wir a posteriori-Fehlerschätzer für die Cahn-Hilliard- und die Cahn-Larché-Gleichung mit homogener Elastizität herleiten. Diese lokalen Fehlerschätzer werden zur Adaption der Gitter, auf denen wir rechnen, verwendet. Die mit den beschriebenen Algorithmen erzeugten numerischen Ergebnisse sind in Kapitel 6 zusammengefasst. Dabei interessieren uns hauptsächlich
  • die Verifikation der Algorithmen insbesondere das richtige Skalierungsverhalten,
  • die Konvergenz von Lösungen der Cahn-Hilliard-Gleichung gegen Lösungen des Mullins-Sekerka-Modells,
  • das Verhalten der Fehlerschätzer,
  • die Auswirkungen der Elastizität auf Phasengrenzen und Partikelgestalt,
  • die Vergröberungsraten und Geschwindigkeit der Evolution mit und ohne Elastizität.
},

url = {http://hdl.handle.net/20.500.11811/1834}
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