Ein Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen

Abstract

In der vorliegenden Arbeit werden effiziente adaptive Diskretisierungsverfahren zur numerischen Lösung parabolischer Probleme vorgestellt. Hierbei gelingt es erstmalig, aufbauend auf speziellen diskreten Funktionenräumen, den sogenannten Raum-Zeit Dünngitterräumen, parabolische Probleme mit der gleichen Komplexität im Speicher- und Rechenaufwand wie stationäre elliptische Probleme zu lösen. Obwohl wesentlich weniger Freiheitsgrade als bei klassischen parabolischen Diskretisierungsverfahren benötigt werden, erreichen wir mit den vorgestellten Verfahren die (bis auf einen logarithmischen Faktor) gleichen Konvergenzraten wie bei herkömmlichen Diskretisierungen. Hierzu werden lediglich etwas stärkere Glattheitsvoraussetzungen an die Lösung des parabolischen Problems benötigt. Es wird jedoch in dieser Arbeit gezeigt, dass diese Glattheitsvoraussetzungen bei geeigneten Annahmen an das Gebiet, die rechte Seite und die Anfangs- und Randbedingungen für die Lösung parabolischer Probleme erfüllt sind.<br /> Ferner stellen wir für den Fall, dass die zu approximierende Funktion nicht genügend glatt ist, eine adaptive Erweiterung des Verfahrens in Raum und Zeit vor. Die resultierenden adaptiven Diskretisierungen weisen in den numerischen Experimenten für Probleme mit nicht glatten Lösungen nahezu die gleiche Effizienz wie die nicht adaptiven Diskretisierungsverfahren für Probleme mit genügend glatten Lösungen auf. Besonders bemerkenswert ist hierbei, dass das vorgestellte adaptive Verfahren automatisch zu lokalen Zeitschritten (local time stepping) führt, deren Umsetzung bei herkömmlichen Diskretisierungen algorithmisch aufwändig ist. Zur effizienten Lösung der bei der Diskretisierung anfallenden linearen Gleichungssysteme werden in dieser Arbeit Multilevellöser in Raum-Zeit entwickelt. Wir untersuchen die Konvergenzeigenschaften der Löser an numerischen Beispielen, die zeigen, dass die Konvergenzraten von der Feinheit der Diskretisierung unabhängig sind. <br /> Zum Abschluss verwenden wir die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen zur numerischen Lösung der zu instationären verteilten Kontrollprobleme gehörenden Sattelpunktsprobleme. Während bisherige Arbeiten zur Diskretisierung dieser Sattelpunktsprobleme auf Grund der hohen Zahl an Freiheitsgraden klassischer Diskretisierungsverfahren hierbei lediglich zwei Ortsdimensionen behandeln, sind wir mit den Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen in der Lage, erstmals auch Probleme in drei Ortsdimensionen zu behandeln. Hierzu erweitern wir die Multilevelöser und die Adaptivität auf die Lösung von Systemen parabolischer Differentialgleichungen. Unterschiedliche numerische Beispiele demonstrieren dabei die Effizienz der adaptiven Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung zur Lösung der Sattelpunktsprobleme in bis zu drei Ortsdimensionen.