Semisimple Quantum Cohomology, deformations of stability conditions and the derived category

Abstract

The introduction discusses various motivations for the following chapters of the thesis, and their relation to questions around mirror symmetry. <br /> The main theorem of chapter 2 says that if the quantum cohomology of a smooth projective variety <i>V</i> yields a generically semisimple product, then the same holds true for its blow-up at any number of points (theorem 3.1.1). This is a positive test for a conjecture by Dubrovin, which claims that quantum cohomology of <i>V</i> is generically semisimple if and only if its bounded derived category <i>D^b(V)</i> has a complete exceptional collection. <br /> Chapter 3 generalizes Bridgeland's notion ofstability condition on a triangulated category. The generalization, a <i>polynomial stability condtion</i> (definition 2.1.4), allows the <i>central charge</i> to have values in complex polynomials instead of complex numbers. We show that polynomial stability conditions have the same deformation properties as Bridgeland's stability conditions (theorem 3.2.5). In section 4, it is shown that every projective variety has a canonical family of polynomial stability conditions. <br /> In chapter 4, we define and study the notion of a weighted stable map (definition 2.1.2), depending on a set of weights. We show the existence of moduli spaces of weighted stable maps as proper Deligne-Mumford stacks of finite type (theorem 2.1.4), and study in detail their birational behaviour under changes of weights (section 4). We introduce a category of weighted marked graphs in section 6, and show that it keeps track of the boundary components of the moduli spaces, and natural morphisms between them. We introduce weighted Gromov-Witten invariants by defining virtual fundamental classes, and prove that these satisfy all properties to be expected (sections 5 and 7). In particular, we show that Gromov-Witten invariants without gravitational descendants do not depend on the choice of weights.

<strong>Halbeinfache Quanten-Kohomologie, Deformation von Stabilitätsbedingungen und die Derivierte Kategorie</strong><br /> Die Einleitung erläutert verschiedene Ausgangspunkte für die nachfolgenden Kapitel, und ihre Verbindungen zu Fragen rund um Spiegelsymmetrie. <br /> Hauptaussage von Kapitel 2 ist Satz 3.1.1: wenn das Produkt der Quantenkohomologie einer glatten projektiven Varietät <i>V</i> generisch halbeinfach ist, dann gilt dasgleiche für die Aufblasung von <i>V</i> an beliebig vielen Punkten. Dies ist ein erfolgreicher Test für eine Vermutung von Dubrovin, die besagt, dass die Quantenkohomologie von <i>V</i> genau dann generisch halbeinfach ist, wenn die beschränkte derivierte Kategorie <i>D^b(V)</i> ein vollständiges exzeptionelles System besitzt. <br /> Kapitel 3 verallgemeinert Bridgelands Begriff einer Stabilitätsbedingung in einer triangulierten Kategorie. Diese Verallgemeinerung, eine <i>polynomiale Stabilitätsbedingung</i> (Definition 2.1.4), lässt eine zentrale Ladung mit Werten in komplexen Polynomen statt komplexen Zahlen zu. Es wird gezeigt, dass polynomiale Stabilitätsbedingungen dieselben Deformationseigenschaften wie Bridgelands Stabilitätsbedingungen haben (Satz 3.2.5). Abschnitt 4 zeigt, dass es für jede projektive Varietät <i>V</i> eine kanonische Familie von polynomialen Stabilitätsbedingungen in <i>D^b(V)</i> gibt. <br /> Kapitel 4 führt den Begriff einer gewichteten stabilen Abbildung ein (Definition 2.1.2), in Abhängigkeit einer Menge von Gewichten. Satz 2.1.4 zeigt die Existenz der Modulräume gewichter stabiler Abbildung als eigentliche Deligne-Mumford-Stacks endlichen Typs, und Abschnitt 4 beschäftigt sich im Detail mit dem birationalen Verhalten der Modulräume bei Änderungen der Gewichte. In Abschnitt 6 führen wir eine Kategorie gewichteter markierter Graphen ein, und zeigen, dass sie natürlicherweise Randkomponenten der Modulräume und die natürliche Morphismen zwischen ihnen indiziert. Gewichtete Gromov-Witten-Invarianten werden durch die Definition von virtuellen Fundamentalklassen eingefürt, und wir zeigen, dass diese alle zu erwartenden Eigenschaften erfüllen (Abschnitte 5 und 7). Insbesondere zeigen wir, dass Gromov-Witten-Invarianten ohne Kopplung an Gravitation nicht von der Wahl der Gewichte abhängen.