Stochastic calculus in Riemannian polyhedra and martingales in metric spaces

Abstract

The classical stochastic calculus of semimartingales is generalized to semimartingales in polyhedra. The main tool is a local Ito formula for piecewise smooth functions which is given in terms of so-called directional local times. As an example, Brownian motion on a Riemannian polyhedron is constructed and shown to be a semimartingale.<br /> In the case of Euclidean polyhedra, the notion of a martingale is discussed, including a kind of Darling's characterization. In a Euclidean polyhedron of nonpositive curvature, this is shown to be also equivalent to the notion of a strong martingale.<br /> The latter is based on the concept of iterated nonlinear conditional expectations and leads to a rich theory of strong martingales in general metric spaces of nonpositive curvature. As an application, a broad characterization of harmonic maps is presented.

<b>Stochastischer Kalkül in Riemannschen Polyedern und Martingale in metrischen Räumen</b><br /> Analog zu Mannigfaltigkeiten wird der klassische stochastische Kalkül auf den Fall von Semimartingalen in Polyedern verallgemeinert. <br /> Der zentrale Punkt ist eine lokale Ito-Formel, die mit Hilfe von sogenannten gerichteten Lokalzeiten formuliert wird. Als Beispiel für Semimartingale in Polyedern wird die Brownsche Bewegung in einem Riemannschen Polyeder konstruiert.<br /> In Euklidischen Polyedern werden verschiedene geometrische Martingalbegriffe diskutiert, wie z.B. die Darling-Charakterisierung, und deren Äquivalenz gezeigt. Unter der zusätzlichen Bedingung nichtpositiver Krümmung wird die Äquivalenz zur Definition des sogenannten starken Martingals gezeigt. Daraus folgt eine breite Charakterisierung harmonischer Abbildungen zwischen Polyedern. Der Begriff des starken Martingals, basierend auf dem Konzept iterierter (nichtlinearer) bedingter Erwartungen, führt zu einer reichhaltigen Martingaltheorie in allgemeinen metrischen Räumen nichtpositiver Krümmung.