Einbettungen von logarithmischen Morrey-Räumen

Abstract

<p>Die Arbeit befasst sich mit Verfeinerungen der Einbettungssätze von Morrey, Marcinkiewicz-Stampaccia und Trudinger. Es geht um die Frage, inwieweit Morrey-Bedingungen für die Ableitungen eine Funktion zu besseren als die durch Sobolevschen-Ungleichungen gegebenen Integrabilitätsexponenten führen. Ein klassischer Satz (Marcinkiewicz-Stampacchia) zuzüglich späterer Verbesserungen besagt, dass eine Funktion u im Lebesgueschen Funktionenraum zum Exponenten q enthalten ist, sofern grad(u) im entsprechenden Raum zum Exponenten p liegt, einer Morrey- Bedingungen mit Exponenten s genügt, und die Bedingung <b>1/q=1/p-1/s</b> gilt.<br /> Von besonderen Wichtigkeit sind auch die Resultate von Trudinger, die Grenzfälle der Einbettungssätze behandeln.<br /> Einbettungssätze sind für viele Fragen bei partiellen Differentialgleichungen, etwa Regularitäts-, Stabilitäts- und Kompaktheitsfragen von Bedeutung. Daher sind weiter gehende Verfeinerungen immer nützlich und willkommen. In der vorliegenden Arbeit stellen wir die Frage, inwieweit Morrey-Bedingungen mit logarithmischer Störung zu verbesserten Einbettungen für die Funktion u selbst führen. Es gelingt uns, hierzu optimale Einbettungen und Abschätzungen zu geben und die "Optimalität" unserer Resultate zu beweisen.<br /> In der gesamten Arbeit betrachten wir die Standardsituation von Funktionen, die auf beschränkten Gebieten mit Lipschitzrand definiert.<br /> In Kapiteln 4 bis 8 betrachten wir verschiedene Typen von Verfeinerungen von Resultaten der Marcinkiewicz-Stampaccia und Trudinger. Es geht um die Frage, welche Konsequenz logarithmische Störungen der klassische Morrey-Bedingung auf die Einbettungssätze haben.<br /> In Kapiteln 9 und 10 beweisen wir die Einbettungen vom logarithmischen Nikolski- Morrey-Raum in den Orlicz-Raum. Nikolski-Morrey-Räume verallgemeinern den Begriff der Ableitungen ganzzaliger Ordnung auf den fraktionellen Fall.</p>