Anisotrope Verfahren in der Bildverarbeitung: Gradientenflüsse, Level-Sets und Narrow Bands

Abstract

<p>Isotrope Glättungs- und Restaurierungsverfahren neigen dazu, Isoflächen abzurunden. Für beispielsweise ecken- oder kantenerhaltendes Glätten oder Restaurieren sind sie nicht geeignet. Stattdessen können anisotrope Verfahren verwendet werden, die ein lokal definiertes, konvexes Muster (das sogenannte Wulff-Shape) bevorzugt ausbilden. Nach einer ausführlichen Darstellung der Theorie solcher Anisotropien werden in dieser Arbeit die folgenden drei Verfahren behandelt: 1) Simultane Glättung und Klassifizierung von Luftaufnahmen von Stadtgebieten: Solche Aufnahmen enthalten hauptsächlich rechtwinklige, unterschiedlich orientierte Strukturen. Unser Verfahren beruht auf dem anisotropen ROF-Modell und extrahiert zum einen den sogenannten Cartoon des Bildes, der die geometrischen Objekte, aber kein Rauschen und keine Texturen enthält, zum anderen klassifiziert es simultan die Orientierungen dieser rechtwinkligen Strukturen. Als Wulff-Shape verwenden wir ein rotiertes Quadrat, das sich automatisch an den Kanten des Bildes ausrichtet. Eine hinreichend starke Regularisierung des Orientierungsparameters ermöglicht es dabei, Ecken nicht nur zu erhalten, sondern auch zu restaurieren.<br /> Zur Energieminimierung verwenden wir ein explizites Gradientenverfahren mit Zeitschrittweitensteuerung und Bregman-Iterationen, um den starken Kontrastverlust des ROF-Verfahrens zu kompensieren. Die Diskretisierung erfolgt mit bilinearen Finiten Elementen.<br /> 2) Glättung und Restaurierung von 3D MR Angiographie-Daten: Solche medizinischen Aufnahmen von Blutgefäßen sind oft verrauscht und können unterbrochene Strukturen aufweisen. Unser Verfahren glättet diese Strukturen und schließt kleine Lücken in den Blutgefäßen. Hierdurch erhält der Mediziner in der präoperativen Phase eine klarere Darstellung der Architektur der Blutgefäße.<br /> Unser Verfahren basiert auf dem anisotropen mittleren Krümmungsfluss, wobei wir als Wulff-Shapes für die annähernd röhrenförmigen Blutgefäße lange Ellipsoide verwenden. Diese werden lokal in die Richtung der Adern rotiert, was in der Evolution zu einer starken Glättung und zu einem Wachstum in Richtung der Strukturen führt. Die Richtung der Adern bestimmen wir mit einer Momentenanalyse, basierend auf einer Schätzung der Blutgefäßradien, in einem vorherigen separaten Klassifizierungsschritt. Um das Schrumpfen der Strukturen unter dem Krümmungsfluss zu verhindern, verwenden wir weiterhin einen lokalen Volumenkorrekturterm.<br /> Das gesamte Verfahren ist im Level-Set-Kontext formuliert, die Blutgefäße sind als 0-Isofläche einer Level-Set-Funktion gegeben. Um die Effizienz unserer Methode zu steigern, berechnen wir die Evolution nur auf einem hinreichend breiten Band um das Interface herum. Die Ortsdiskretisierung erfolgt mit trilinearen Finiten Elementen auf einem Hexaeder-Gitter, in der Zeit verwenden wir ein semi-implizites Rückwärts-Euler-Verfahren.<br /> 3) Restaurierung von Gravuren in ebenen Graphenflächen: Solche Flächen sind durch spitze Kanten und Übergänge von Gravuren zu ebenen Flächenstücken charakterisiert. Damit diese anisotropen Strukturen bei einer Restaurierung auch korrekt in das Innere des Restaurierungsgebietes fortgesetzt werden, verwenden wir den anisotropen Willmore-Fluss mit speziell konstruierten Wulff-Shapes und geeigneten Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Um bei letzteren die Berechnung eines Randintegrals zu vermeiden, schreiben wir die Neumann-Randbedingungen durch Integration über ein vergrößertes Rechengebiet vor. Zur Restaurierung verwenden wir zwei verschiedene Wulff-Shapes: Einen Doppelkegel, um spitze Kanten auszubilden und einen Rotationskörper, definiert durch ein Hexagon, um den Übergang von Gravuren zu ebenen Flächen zu restaurieren.<br /> Die Euler-Lagrange-Gleichung des anisotropen Willmore-Flusses ist von vierter Ordnung. Wir substituieren hier die anisotrope Krümmungskonzentration um ein gekoppeltes System aus zwei Gleichungen zweiter Ordnung zu erhalten. Zur Diskretisierung verwenden wir wieder ein semi-implizites Rückwärts-Euler-Verfahren und bilineare Finite Elemente.<br /> In dem letzten Kapitel dieser Dissertation haben wir uns mit Narrow-Band-Verfahren beschäftigt. Diese kompensieren den großen Nachteil der Level-Set-Methode, die zur Definition einer d-dimensionalen Fläche eine (d+1)-dimensionale Level-Set-Funktion benötigt. Wir beschränken uns hierbei auf 2D-Flächen im R^3. Anstelle des gesamten 3D-Rechengebiets betrachten wir nur ein schmales Band (Narrow Band) um das Interface herum. Ein solches Verfahren an sich ist nicht neu. Unser Beitrag ist es, (semi-)implizite Finite-Elemente-Verfahren zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen auf impliziten Flächen oder Flächenevolutionen jeweils auf schmalst möglichen Bändern zu formulieren und mit einer sehr effizienten Datenstruktur, dem DT-Grid von Nielsen und Museth, zu implementieren. Diese Datenstruktur basiert auf Lauflängenkodierung und bietet für unsere Zwecke eine konstante Zugriffszeit auf Knoten und Elemente des Gitters.<br /> Ein großes Problem bei solch schmalen Narrow Bands ist der dem Interface sehr nahe Rand, der aus zu Koordinatenebenen parallelen Rändern von Gitterzellen besteht. Hierdurch ist die übliche Verwendung von Neumann-Randbedingungen nicht mehr möglich, da dieser Zick-Zack-förmige Rand einen störenden Einfluss auf den Gradienten der Lösung hat. Daher definieren wir sogenannte transparente Randbedingungen, um diese Störung zu kompensieren.<br /> Bei Flächenevolutionen besteht zusätzlich die Gefahr, dass das Interface das Narrow Band verlässt. Um dennoch große Zeitschrittweiten verwenden zu können, haben wir ein Iterations-Schema entwickelt, welches dem Interface und dem Narrow Band in einer inneren Iteration erlaubt, zu der zu einem großen Zeitschritt gehörenden neuen Position zu wandern.<br /> Wir haben die Konsistenz sowohl der transparenten Randbedingungen als auch der inneren Iterationen untersucht und präsentieren zahlreiche numerische Beispiele auf hochaufgelösten impliziten Flächen.</p>