Optimal transport and geometric analysis in Heisenberg groups

Abstract

In this thesis we consider the Heisenberg group H_n=R^{2n+1} with its Carnot-Carathéodory distance d_c and the Lebesgue measure L^{2n+1}. In Chapter 1, in relation with the geometric traveling salesman problem in H_1, we construct a curve of finite length that does not satisfy the criterion of Ferrari, Franchi and Pajot about sets contained in the range of a rectifiable curve. We also prove a sharp Jacobian estimate of that maps that contract sets to a point going along geodesics. This is essentially equivalent to the Measure Contraction Property MCP(0,2n+3). With this estimate we answer positively a question by Ambrosio and Rigot about optimal transport in H_n (common work with Figalli). Indeed, in Chapter 2 we prove the absolute continuity of the measure of H_n on a Wasserstein geodesic starting from an absolutely continuous measure. In Chapter 3, we prove that the Curvature-Dimension CD(K,N) condition defined by optimal transport does not hold for any K\in R and N\in[1,+\infty]. We also discuss other metric curvature properties in the case of H_n. Finally Chapter 4 is devoted to the concordance of the subelliptic "heat" equation and the Wasserstein gradient flow of the Bolzmann entropy.

<b>Optimaltransport und geometrische Analysis in den Heisenberg-Gruppen</b><br /> In dieser Doktorarbeit betrachten wir die Heisenberg-Gruppe H_n=R^{2n+1} mit dem Carnot-Caratéodory Abstand d_c und dem Lebesgue Ma\ss L^{2n+1}. In Kapitel 1, im Zusammenhang mit dem geometrischen Problem des Handlungs-reisenden, konstruieren wir eine Kurve omega endlicher Länge, die jedoch nicht das Kriterium von Ferrari, Franchi und Pajot erfüllt, das sicher stellt, dass eine Menge im Bild einer rektifizierbaren Kurve enthalten ist. Wir erhalten des Weiteren eine feine Abbschätzung der Jacobi-Determinante für diejenigen Abbildungen, die eine Menge entlang von Geodäten zu einem Punkt kontrahieren. Dies ist im Wesentlichen äquivalent zu der Massenkontraktionseigenschaft MCP(0,2n+3). Mit Hilfe dieser Abschätzung beantworten wir eine Frage von Ambrosio und Rigot zum Optimaltransport in H_n positiv. Wir beweisen nämlich im Kapitel 2, dass die Ma\sse auf einer Geodäte des Wasserstein-Raumes absolutstetig ist, sobald ein Ende dieser Kurve absolutstetig ist. In Kapitel 3 zeigen wir, dass die Krümmungs-Dimension-Bedingung CD(K,N) durch kein K\in R und kein N\in[1,+\infty] erfüllt wird. Wir betrachten au\sserdem für H_n andere metrische Definitionen der Krümmung. Abschlie\ssend weisen wir in Kapitel 4 auf den Zusammenhang zwischen dem Wasserstein-Gradientenfluss der Bolzmann-Entropie und subelliptischer Diffusion hin.