On Rho Invariants of Fiber Bundles

Abstract

Using adiabatic limits of Eta invariants, Rho invariants of the total space of a fiber bundle are investigated. One concern is to formulate the aspects of local index theory for families of Dirac operator in terms of the odd signature operator, and place known results in a context which permits the treatment of Rho invariants.<br /> The main focus is, however, to use the theory to compute Rho invariants for explicit classes of fibered 3-manifolds. More precisely, we consider $\U(1)$-Rho invariants of principal $S^1$-bundles over closed, oriented surfaces as well as mapping tori with torus fiber.<br /> Hyperbolic monodromy maps deserve particular attention. When discussing them, the logarithm of a generalized Dedekind Eta function naturally appears. An explicit formula for $\U(1)$-Rho invariants can then be deduced from a transformation formula for these Dedekind Eta functions.

<b>Über Rho-Invarianten von Faserbündeln</b><br /> Mit Hilfe der Theorie adiabatischer Grenzwerte von Eta-Invarianten werden Rho-Invarianten auf Totalräumen von Faserbündeln untersucht. Ein Teil der Arbeit beschäftigt sich damit, Aspekte der lokalen Indextheorie für Familien von Dirac Operatoren im Falle des ungeraden Signaturoperators zu formulieren und bekannte Resultate in einen Kontext zu setzen, der die Behandlung von Rho-Invarianten ermöglicht.<br /> Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt jedoch darauf, die Theorie für Beispielklassen von gefaserten 3-Mannigfaltigkeiten explizit anzuwenden. Insbesondere werden $U(1)$-Rho-Invarianten von $S^1$-Hauptfaserbündeln über kompakten Riemannschen Flächen und von Abbildungstori mit Torusfaser behandelt.<br /> Hyperbolische Monodromieabbildungen erfordern hier eine besondere Aufmerksamkeit. In diesem Fall treten in natürlicher Weise Logarithmen verallgemeinerter Dedekindscher Eta-Funktionen auf, aus deren Transformationsverhalten sich eine explizite Formel für $\U(1)$-Rho-Invarianten herleiten lässt.