Numerische Simulation der Interaktion von inkompressiblen Zweiphasenströmungen mit Starrkörpern in drei Raumdimensionen

Abstract

In dieser Arbeit stellen wir erstmalig einen parallelen Löser für inkompressible Zweiphasenströmungen mit Oberflächenspannung in drei Raumdimensionen vor, der Masseerhaltung und hohe Konvergenzordnung vereint. Als zweite wesentliche Neuerung kombinieren wir diesen Strömungslöser über die Level-Set-Technik mit der Dynamik komplexer Starrkörpergeometrien.<br /> Im ersten Teil der Arbeit wird der dreidimensionale Navier-Stokes-Löser für inkompressible Zweiphasenströmungen mit Oberflächenspannung vorgestellt und auf die Simulation von Blasen- und Tröpfchendeformationen angewendet. Wir untersuchen hierbei den Einfluss der Oberflächenspannung und ihrer Diskretisierung, sowie der Fixpunktiteration zur Masseerhaltung auf das globale Konvergenzverhalten des Verfahrens. Unser Schema verwendet eine Finite-Differenzen-Diskretisierung zusammen mit einer Projektionsmethode und einem WENO-Verfahren fünfter Ordnung für die konvektiven Terme. Die freie Oberfläche zwischen den beiden Fluidphasen wird mit einer Level-Set-Technik approximiert. Dabei sind die Oberflächenspannungskräfte implizit über die CSF-Mehode in den Navier-Stokes-Impulsgleichungen enthalten und werden über ein geglättetes Delta-Funktional mittels einer Interpolation dritter Ordnung ausgewertet. Unsere Approximation liefert eine Konvergenz zweiter Ordnung außerhalb einer Umgebung der freien Oberfläche und eine Konvergenz erster Ordnung in Nähe der freien Oberfläche, wo das geglättete Delta-Funktional zum Einsatz kommt. Um die bekannten Masseerhaltungsschwierigkeiten der Level-Set-Approximation zu bewältigen, setzen wir eine verbesserte Reinitialisierungsmethode ein und kombinieren diese mit einer globalen Fixpunktiteration, sodass die Masse auch für Langzeitrechnungen erhalten bleibt. Wir diskutieren detailliert unser numerisches Verfahren und präsentieren einige Ergebnisse hinsichtlich Masseerhaltung, Konvergenz der Krümmung und die Anwendung unseres Lösers auf die Simulation von zwei Problemen mit aufsteigenden Bläschen, eines mit kleinem und eines mit großem Sprung in den Materialparametern, und auf die Simulation von Tropfendeformationen in einer Scherströmung in drei Raumdimensionen. Weiterhin vergleichen wir unsere dreidimensionalen Resultate mit quasi-zweidimensionalen und zweidimensionalen Simulationsergebnissen. Der Vergleich zeigt klar die Notwendigkeit einer dreidimensionalen Simulation zur korrekten Wiedergabe des physikalischen Verhaltens.<br /> Im zweiten Teil dieser Arbeit koppeln wir bewegliche, komplexe, dreidimensionale Starrkörpergeometrien mit dem Zweiphasen-Strömungslöser. Wir beschreiben die Transformation einer vorgegebenen komplexen triangulierten Starrkörpergeometrie in eine diskrete Level-Set-Funktion. Die Bewegungsgesetzte des Starrkörpers können hierbei über eine semi-Lagrangesche Diskretisierung der Transportgleichung so umgesetzt werden, dass die charakteristische Deformationsfreiheit des Starrkörpers erhalten bleibt. Die vollständige Einbindung der Starrkörperdynamik in den inkompressiblen Zweiphasen-Strömungslöser wird über einen zusätzlichen Lagrange-Multiplikator-Ansatz umgesetzt. Ähnlich dem Druckfeld aus der Projektionsmethode, welches die Inkompressibilität der Fluide forciert, wird ein zusätzlicher Druck innerhalb des Starrkörpers ermittelt, der die Deformationsfreiheit und die physikalische Starrkörperbewegung erzwingt und diese mit dem Geschwindigkeits- und Druckfeld der Zweiphasenströmung koppelt. In dieser Arbeit wurde der Lagrange-Multiplikator-Ansatz mit der Level-Set-Technik gekoppelt und erstmalig auf reale dreidimensionale Zweiphasen-Starrkörper-Interaktionen mittels einer semi-impliziten Lösungsmethode erfolgreich umgesetzt. Das gesamte Verfahren ist darüber hinaus parallelisiert und um ein Large-Eddy-Turbulenzmodell erweitert worden, sodass dreidimensionale makrodynamische Strömungsprozesse realitätsnah simuliert werden können. Die Ergebnisse einiger numerischer Experimente, bei denen einerseits der hydrodynamisch stationäre Zustand einer Kugel innerhalb einer Phase und auf der freien Oberfläche untersucht und andererseits die numerische Konvergenzrate am Beispiel eines auftauchenden Zylinders ermittelt wird, belegen deutlich das von uns vorhergesagte globale Konvergenzverhalten erster Ordnung.<br /> Abschließend simulieren wir das Strömungsverhalten einer zwangsgeführten Schiffskörpergeometrie und das Auftauchen eines U-Bootes. Diese herausfordernden numerischen Experimente belegen die vielseitige Einsetzbarkeit des für diese Arbeit entwickelten Simulationsprogramms.