Die epistemische Rolle formalisierbarer mathematischer Beweise

Abstract

Unter welchen Bedingungen stellt ein mathematischer Beweis eine aus erkenntnistheoretischer Sicht notwendige oder hinreichende Rechtfertigung dafür dar zu wissen, dass der bewiesene Satz wahr ist? Welche Rolle spielt dabei insbesondere die Formalisierbarkeit des Beweises? Inwiefern kann etwa ein durch ein im Nachhinein gefundenes Gegenbeispiel zweifelhaft gewordener Beweis, ausgehend von dem für die Mathematik üblichen Begriff der formalen Korrektheit, dennoch als hinreichend korrekt angesehen werden, um als rechtfertigender Grund durchzugehen? In welchem Sinne von "formalisierbar" ist also die tatsächliche Formalisierbarkeit eines mathematischen Beweises ein adäquates Kriterium für seine epistemische Signifikanz?<br /> Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit derartigen Fragen vor einem wissenschaftsphilosophischen Hintergrund. Methodischer Ausgangspunkt der Untersuchung ist ein interdisziplinärer, sozio-empirisch informierter philosophischer Ansatz, der sich an der tatsächlichen wissenschaftlichen Praxis der Mathematik orientiert. Dazu wurden zwei empirische Studien zu beweisbasierten epistemischen Zuschreibungen in der mathematischen Praxis durchgeführt. Deren Ergebnisse werden hier theoretischen Überlegungen zum Begriff des formalisierbaren Beweises und darauf basierenden analytischen Wissens- und Rechtfertigungskriterien gegenübergestellt. Diese Gegenüberstellung eröffnet eine Sicht auf mathematische Beweise und deren Rolle als rechtfertigende Gründe, die nicht mehr mit dem klassischen Bild von Mathematik als einer wissenschaftlichen Disziplin vereinbar ist, welche infallibles Wissen durch formale oder zumindest formalisierbare Beweismethoden erzeugt. Sie liefert vielmehr kontext-sensitive erkenntnistheoretische Kriterien für formalisierbare mathematische Beweishandlungen, welche insbesondere die mathematischen Fähigkeiten des epistemischen Subjektes berücksichtigen.

<strong>The epistemic role of formalizable mathematical proof - Formalizability based conceptions of mathematical knowledge and justification as part of a socio-empirically informed epistemology<br /></strong>What are the features that make the availability of mathematical proof a necessary or sufficient condition for mathematical knowledge? What is the role of formalizability in this context? In what sense of "formalizable" is formalizability essential for the epistemic significance of mathematical proof? I address these epistemological questions from the viewpoint of philosophy of science. The investigation starts with a methodological discussion in favor of an interdisciplinary, socio-empirically informed philosophy of mathematics. This is followed by a review of various analytic criteria for knowledge and epistemic justification which are based on different notions of formalizability. In order to attach the theoretical considerations close to actual mathematical practice, two empirical studies on the use of knowledge ascriptions by practising mathematicians were conducted. The presentation and interpretation of the empirical results captures the middle part of this work. In the last part, a philosophical criterion of empirical-descriptive adequacy is developed on the basis of the empirical results. This criterion is then applied to the former analytical results. Finally, an alternative reading of "formalizable proof" is developed, and a sketch of a corresponding empirical-descriptively adequate conception of context-sensitive mathematical justification and knowledge is given.