Information-theoretic approach for the characterization of interactions in nonlinear dynamical systems

Abstract

Symbolic time series analysis provides us a solid and broadly used toolkit for the characterization of interactions between nonlinear dynamical systems. In this thesis, information-theoretic measures are evaluated with respect to their capability to characterize interactions between dynamical systems. We investigate several important limitations of these measures which may appear when experimental data exhibit strong correlations. It is demonstrated that a high degree of static and/or long-term temporal correlations can, in general, lead to the incorrect inference of directionality of interactions between underlying dynamical systems. In this thesis, we propose two complementary information-theoretic measures which can provide a better characterization of the directionality of interactions in cases where the influence of such correlations in data cannot be neglected. <br /> First, the proposed information-theoretic measures are applied to characterize interactions between dynamical model systems with known equations of motion. Finally, they are applied to characterize interactions between multi-channel electroencephalographic recordings from epilepsy patients undergoing the presurgical diagnostics.

<strong>Informationstheoretischer Ansatz zur Charakterisierung von Interaktionen in nichtlinearen dynamischen Systemen</strong><br /> Mit Hilfe der Zeitreihenanalyse können Interaktionen zwischen natürlichen dynamischen Systemen anhand experimenteller Daten charakterisiert werden. In den letzten Jahren wurde eine Reihe von Maßen vorgestellt, die darauf abzielen, neben der Interaktionsrichtung auch die Interaktionsstärke zu bestimmen. Die zur Charakterisierung von Interaktionsrichtungen konzipierte Transferentropie zeichnet sich gerade durch eine besonders hohe Rauschtoleranz gegenüber anderen Maßen aus. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, zwei Limitationen, die die Interpretierbarkeit der Charakterisierungen mit der bisher vorgeschlagenen Transferentropie einschränken, zu untersuchen und auszuräumen. Zum einen wird ein Verfahren entwickelt und implementiert, mit dem langreichweitige Korrelationen besser beobachtet werden können, zum anderen werden Korrekturen vorgeschlagen, die den Einfluss so genannter statischer Korrelationen berücksichtigen. Bei Charakterisierungen von Interaktionsrichtungen mit Hilfe der Transferentropie konnten langreichweitige Korrelationen nur durch die Abschätzung von hochdimensionalen Wahrscheinlichkeitsräumen berücksichtigt werden. Für diese Abschätzung sind sehr viele Datenpunkte innerhalb des Beobachtungsintervalls notwendig, was bei Felddaten, gemessen an unbekannten Systemen, mit der Annahme der Stationarität in einem Beobachtungsintervall konkurriert. Um diese Beschränkung zu umgehen, wird in dieser Dissertation eine Verallgemeinerung des Konzepts der Entropie im Sinne von Lempel-Ziv auf das Maß der Transferentropie übertragen. Hierdurch können langreichweitige Korrelationen ohne die Abschätzung eines hochdimensionalen Wahrscheinlichkeitsraums bestimmt werden. Zeitgleiche Korrelationen der zugrunde liegenden Signale - so genannte statische Korrelationen - können die Interpretierbarkeit der Charakterisierung einschränken. Zur Berücksichtigung statistischer Korrelationen mit den bisher vorgestellten Maßen war ebenfalls eine mit einem großen Rechenaufwand verbundene Abschätzung hochdimensionaler Wahrscheinlichkeiten notwendig. In der vorliegenden Dissertation wird eine Korrektur der Transferentropie zur Abschätzung der statischen Korrelationen vorgeschlagen, ohne höherdimensionale Terme berechnen zu müssen. <br /> Durch die in dieser Arbeit vorgestellten Maße und Korrekturen kann die Charakterisierung der Interaktionsrichtung verbessert werden. Dabei wird anhand prototypischer Modellsysteme mit chaotischen Dynamiken demonstriert, dass die Charakterisierungen mit Hilfe der vorgeschlagenen Maße und Korrekturen gerade bei Systemen, die ohne Zeitversatz interagieren, besser interpretierbar sind. Weiterhin wurden Interaktionsstärke und Interaktionsrichtung an Zeitreihen hirnelektrischer Aktivität von Epilepsiepatienten bestimmt und mit Charakterisierungen der Transferentropie verglichen. Hierbei lässt sich zusammenfassen, dass sich mit den in dieser Arbeit vorgestellten Maßen Kontraste unterschiedlicher Interaktionsrichtungen besser auflösen lassen.