Dual weights in the theory of harmonic Siegel modular forms

Abstract

We define harmonic Siegel modular forms based on a completely new approach using vector-valued covariant operators. The Fourier expansions of such forms are investigated for two distinct slash actions. Two very different reasons are given why these slash actions are natural. We prove that they are related by xi-operators that generalize the xi-operator for elliptic modular forms. We call them dual slash actions or dual weights, a name which is suggested by the many properties that parallel the elliptic case.<br /> Based on Kohnen's limit process for real-analytic Siegel Eisenstein series, we show that, under mild assumptions, Jacobi forms can be obtained from harmonic Siegel modular forms, generalizing the classical Fourier-Jacobi expansion. The resulting Fourier-Jacobi coefficients are harmonic Maass-Jacobi forms, which are defined in full generality in this work. A compatibility between the various xi-operators for Siegel modular forms, Jacobi forms, and elliptic modular forms is deduced, relating all three kinds of modular forms.

<strong>Duale Gewichte in der Theorie harmonischer Siegelscher Modulformen</strong><br /> Fußend auf einem vollständig neuen Ansatz, dem vektorwertige kovariante Operatoren zu Grunde liegen, definieren wir den Begriff der harmonischen Siegelschen Modulform. Dieser Definition schließt sich eine Untersuchung der für zwei verschiedene Strichoperationen auftretenden Fourier-Entwicklungen an. Die besagten Operationen sind natürlich in zweierlei Hinsicht, auf die wir beide näher eingehen. Darüber hinaus besteht eine Verbindung zwischen diesen beide Strichoperatoren, die durch zwei xi-Operatoren, die wiederum den elliptischen xi-Operator verallgemeinern, vermittelt wird. Die bemerkenswerte Ähnlichkeit zum Verhalten von elliptischen Modulformen dual Gewichts legt die Verwendung dieses Begriffs auch für die hier untersuchten Gewichte Siegelscher Modulformen nahe.<br /> Eine Verallgemeinerung der klassischen Fourier-Jacobi-Entwicklung kann aufbauend auf Kohnens Grenzwertprozess für reell-analytische Siegelsche Eisensteinreihen für eine große Klasse von harmonischen Siegelschen Modulformen hergele\-tet werden. Die herbei auftretenden Fourier-Jacobi-Entwicklungen stellen sich als Maaß-Jacobiformen heraus, die in voller Allgemeinheit in dieser Arbeit definiert werden. Wir zeigen schließlich, dass die verschiedenen xi-Operatoren für Siegelsche Modulformen, Jacobiformen und elliptische Modulformen miteinander verträglich sind und stellen so einen Zusammenhang zwischen diesen drei Arten von Modulformen her.