Uniqueness and Stability near Stationary Solutions for the Thin-Film Equation in Multiple Space Dimensions with Small Initial Lipschitz Perturbations

Abstract

In any number of space variables, we study the Cauchy problem related to the thin-film equation in the simplest case of a linearly degenerate mobility. This equation, derived from a lubrication approximation, also models the surface-tension dominated flow of a thin viscous film in the Hele-Shaw cell. <br /> Our focus is on uniqueness of weak solutions in the <i>complete wetting</i> regime, when a zero contact angle between liquid and solid is imposed. In this case, we transform the problem by zooming into the free boundary and look at small Lipschitz perturbations of a quadratic stationary solution. In the perturbational setting, the main difficulty is to construct scale invariant function spaces based on time-space cylinders. Here we rely on the theory of singular integrals in spaces of homogeneous type to obtain linear estimates in these functions spaces which provide <i>optimal</i> conditions on the initial data under which a unique solution exists. In fact, this solution can be used to define a class of functions in which the original initial value problem has a unique (weak) solution. Moreover, we show that the (moving) interface between empty and occupied regions is an analytic hypersurface in time and space.

<strong>Eindeutigkeit und Stabilität nahe stationärer Lösungen für die Dünnfilmgleichung in mehreren Raumdimensionen mit kleinen Lipschitz-Anfangsstörungen</strong><br /> Betrachtet man im freien Randwertproblem für den Stokes-Fluss mit Oberflächenspannung den Grenzübergang für dünne Schichten, so ergibt sich formal aus den Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Flüssigkeiten die Dünnfilmgleichung. Diese ist eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung mit degenerierter Parabolizität. In der vorliegenden Arbeit befassen wir uns mit dem einfachsten Fall einer linearen Mobilität (Hele-Shaw Fluss) und arbeiten Bedingungen an die Anfangswerte heraus, unter welchen eine eindeutige globale Lösung des dazugehörigen Anfangswertproblems existiert. <br /> Im ersten Schritt fixieren wir den freien Rand, indem wir auf der Positivitätsmenge unabhängige und abhängige Variablen vertauschen (von Mises-Transformation), und anschließend die resultierende Gleichung um eine quadratische stationäre Lösung linearisieren. In der linearen Konfiguration konstruieren wir basierend auf Zeit-Raum-Zylindern Skalierungs-invariante Funktionenräume. In diesen beweisen wir mithilfe der Theorie singulärer Integrale in Räumen vom homogenen Typ lineare Abschätzungen und erhalten somit <i>optimale</i> Bedingungen an die Anfangswerte, unter denen eine eindeutige Lösung existiert. Tatsächlich können wir diese Lösung verwenden, um eine Funktionenklasse zu definieren, in der das ursprüngliche Problem eine eindeutige (schwache) Lösung besitzt. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Kontaktlinie zwischen leeren und benetzten Regionen eine analytische Hyperfläche in Zeit und Raum ist.