Parametric Model Order Reduction Using Sparse Grids

Abstract

In applications such as very large scale integration chip design models are typically huge. The same is true in mechanical engineering, especially when the models are complex finite element discretizations. To speed up simulations the large full order model is replaced by a smaller reduced order model. This is called model order reduction. The challenge is to find a reduced order model that closely resembles the full order model in order not to lose too much accuracy.<br /> Many models depend on parameters. The goal of parametric model order reduction is to preserve this dependence in the reduced order model to avoid repeatedly performing time-consuming model order reduction for every new parameter value. This is particularly interesting for parameter studies.<br /> In this thesis we develop, analyze and test a parametric model order reduction method for large symmetric linear time-invariant dynamical systems which preserves stability and is efficient in higher-dimensional parameter spaces. This method is based on sparse grid interpolation. In a pre-computation step, local reduced order models are computed at several discrete points in parameter space. Whenever we need to evaluate the model at an arbitrary point in parameter space, a reduced order model at that point is obtained by interpolating the system matrices of the local reduced order models on matrix manifolds.<br /> As a theoretical foundation we introduce appropriate norms for parametric models and state conditions for the parameter dependence such that these norms are finite. In our analysis we then derive an upper bound for the interpolation error expressed in these norms, which shows a good qualitative behavior in computational experiments. <br /> We demonstrate that interpolation on sparse grids is more efficient than interpolation on full grids and that interpolation with global polynomial basis functions is more efficient than interpolation with piece-wise linear basis functions when the parameter dependence is smooth. Furthermore, we consider a benchmark studied in a recent parametric model order reduction method comparison survey and show that parametric model order reduction methods based on matrix interpolation can be competitive to other methods when exploiting the symmetry of that system.

<strong>Parametrische Modellreduktion mit Dünnen Gittern</strong><br /> In vielen Anwendungen wie dem Entwurf von VLSI-Schaltkreisen treten sehr große Simulationsmodelle auf. Ein weiteres Beispiel sind physikalische Modelle aus dem Maschinen- oder Fahrzeugbau, die mit finiten Elementen sehr fein diskretisiert wurden. Man kann die Simulation solcher Modelle mithilfe von Modellreduktion beschleunigen. Dabei ersetzt man das große Modell durch ein kleineres, reduziertes Modell. Die Herausforderung besteht darin, ein passendes reduziertes Modell zu finden. Um möglichst wenig Genauigkeit einzubüßen, sollten sich das ursprüngliche Modell und das reduzierte Modell möglichst ähnlich verhalten.<br /> Oft sind die Modelle außerdem parameterabhängig. Bei parametrischer Modellreduktion versucht man, diese Abhängigkeit im reduzierten Modell zu erhalten, um dadurch das wiederholte Ausführen der zeitaufwändigen Modellreduktion für jeden neuen Parameterwert zu vermeiden. Dies ist besonders für Parameterstudien von wesentlicher Bedeutung.<br /> In dieser Dissertation entwickeln, analysieren und testen wir ein stabilitätserhaltendes parametrisches Modellreduktionsverfahren für große symmetrische lineare zeit-invariante dynamische Systeme, welches aufgrund seiner Effizienz auch für den Einsatz in höher-dimensionalen Parameterräumen geeignet ist. Dieses Verfahren basiert auf Dünngitterinterpolation. In einem Vorverarbeitungsschritt werden lokale reduzierte Modelle an wenigen festen Punkten im Parameterraum erzeugt. Durch Interpolation der Systemmatrizen der lokalen reduzierten Modelle auf Matrixmannigfaltigkeiten erhält man das reduzierte Modell an einem beliebigen Punkt im Parameterraum.<br /> Als theoretische Grundlage führen wir passende Normen für parametrische Modelle ein und formulieren Bedingungen an die Parameterabhängigkeit des Modells, sodass diese Normen endlich sind. In unserer Analyse leiten wir dann eine obere Schranke für den Interpolationsfehler in diesen Normen her. Diese zeigt in numerischen Experimenten ein qualitativ gutes Verhalten.<br /> Wir demonstrieren, dass Interpolation auf dünnen Gittern effizienter ist als Interpolation auf vollen Gittern und dass Interpolation mit globalen Polynomen effizienter ist als Interpolation mit stückweise linearen Basisfunktionen, vorausgesetzt die Parameterabhängigkeit ist glatt. Außerdem zeigen wir anhand eines Benchmarks, welches in einem aktuellen Vergleichsartikel über parametrische Modellreduktionsverfahren verwendet wird, dass Verfahren, die auf der Interpolation von Systemmatrizen beruhen, mit anderen parametrischen Modellreduktionsverfahren konkurrieren können, wenn man die Symmetrie des Modells ausnutzt.