Assembly Maps and Pseudoisotopy Functors

Abstract

In this thesis we show the existence of a stable, smooth pseudoisotopyfunctor and construct in the topological, piecewise linear, and smooth category a zig-zag of natural weak equivalences between the stable pseudoisotopyfunctor and the corresponding functor of Whitehead spectra.<br /> To achieve the former, we use the language of quasicategories to enhance the definition of a pseudoisotopy homotopy functor by Burghelea and Lashof to a functor of infinity categories. There are two main steps: First, we observe that most of the constructions by Burghelea and Lashof are unique in a homotopy coherent sense. Then, we give an explicit geometric construction to resolve coherence issues related to corners (of manifolds with corners) of arbitrary degree. This concludes the definition of a stable, smooth pseudoisotopyfunctor.<br /> For the latter, we extend the definition of the Whitehead spectrum to a functor of infinity categories to reduce the problem to a natural transformation of infinity functors. At the center of the natural transformation lies yet again an explicit geometric construction. We define families of retraction maps curtailed to the category of choices, which is used in Enkelmann's PhD thesis to define the topological and piecewise linear pseudoisotopyfunctors, and show these families to be unique up to coherence via the Alexander trick.<br /> The results of this thesis clarify the relation between the functor structures of pseudoisotopies, interesting due to their relations to automorphism spaces of manifolds, and the computationally accessible Whitehead spectrum. In conjunction with work on the Farrell-Jones conjecture for A-theory this resolves all questions concerning the original Farrell-Jones conjecture for pseudoisotopy. As an aside, we hope for eventual applications in the search of explicit nontrivial elements of homotopy groups of automorphism spaces of manifolds.

<strong>Assembly Abbildungen und Pseudoisotopie Funktoren</strong><br /> Wir konstruieren einen stabilen, glatten Pseudoisotopiefunktor und, in der topologischen, PL-, und glatten Kategorie, einen Zig-Zag von natürlichen schwachen Äquivalenzen zwischen dem stabilen Pseudoisotopiefunktor und dem entsprechenden Funktor von Whitehead Spektren.<br /> Für unser erstes Ziel nutzen wir die Sprache von Quasikategorien, um die Definition eines Pseudoisotopiehomotopiefunktors nach Burghelea und Lashof zu einem Funktor von Unendlichkategorien zu erweitern. Es gibt zwei wesentliche Schritte: Zunächst zeigen wir, dass die Konstruktionen von Burghela und Lashof in einem homotopiekohärenten Sinne eindeutig sind. Dann geben wir eine explizite geometrische Konstruktion, um Kohärenzprobleme mit Mannigfaltigkeiten mit Ecken beliebiger Dimension zu lösen. Dies schließt die Definition des stabilen, glatten Pseudoisotopiefunktors ab.<br /> Im zweiten Teil verallgemeinern wir die Definition des Whitehead Spektrums zu einem Funktor von Unendlichkategorien, um unser Problem auf die Frage nach einer natürlichen Transformation zwischen Unendlichfunktoren zurückzuführen. Der zentrale Punkt in der Konstruktion der natürlichen Transformation ist erneut ein explizites geometrisches Argument. Wir geben Familien von Retraktionsabbildungen an, die mit der Kategorie von Wahlen zur Konstruktion des topologischen und PL-Pseudoisotopiefunktors aus Enkelmanns Doktorarbeit verträglich sind, und zeigen mittels des Alexandertricks, dass diese Familien in einem homotopiekohärenten Sinne zusammenziehbar sind.<br /> Die Ergebnisse dieser Arbeit klären den Zusammenhang zwischen den Funktorstrukturen von Pseudoisotopien, die aufgrund ihres Bezugs zu Automorphismenräumen von Mannigfaltigkeiten betrachtet werden, und den für Berechnungen zugänglicheren Whitehead Spektren. Zusammen mit Resultaten zur Farrell-Jones Vermutung für A-Theorie beweist dies die ursprüngliche Farrell-Jones Vermutung für Pseudoisotopien. Daneben hoffen wir langfristig auf Anwendungen bei der Konstruktion expliziter nichttrivialer Elemente in Homotopiegruppen von Automorphismenräumen von Mannigfaltigkeiten.