Mathematische Behandlung von Mischungen elastoplastischer Substanzen

Abstract

<p>DDie vorliegende Arbeit befaßt sich mit der mathematischen Analyse eines Modells zur Deformation elastisch-plastischen Mischungen. Modelle zur Beschreibung des einkomponentigen Falles waren schon seit langem im Gebrauch. Hier betrachten wir die relativ neue Theorie von Rajagopal und seinen Schülern, die das zugrundeliegende Material zu jedem Zeitpunkt des Deformationsvorganges als Mischung einer weichen und einer harten Substanz darstellt. Es wird angenommen, daß das Material im Ausgangszustand weich ist. Nach dem Anwenden der deformierenden Kraft wird dieses Material immer härter, bis eine Sättigungsquote erreicht wird. Wir bezeichnen mit α - den Anteil des weichen Stoffes in der Gesamtmischung, 1-α ist der Anteil der harten Komponente. Die Spannung der Mischung wird als lineare Kombination mit Koeffizienten α und 1-α der Spannungen einzelner Komponenten gesetzt.<br /> Wir zeigen, daß die Spannungen des weichen und harten Anteils unter gewissen Voraussetzungen einer bestimmten Variationsungleichung genügen. Zudem sind sie durch die Divergenzbedingung, sowie die Neumann-Randbedingung gekoppelt. Alles zusammen ergibt ein System von patiellen Differentialgleichungen bzw. Variationsungleichungen, das wir im zweiten Teil dieser Arbeit numerisch lösen.<br /> Die Lösbarkeit des entstandenen Systems zeigen wir in der 3. Sektion des ersten Teiles mit Mitteln der konvexen Analysis. Dabei verallgemeinern wir den geläufigen Ansatz mit der Norton-Hoff-Approximation auf die Mischung. Zusätzlich zu der Existenz weisen wir noch die 1/2 - Regularität der Spannungen nach.<br /> Der numerische Algorithmus, den wir im zweiten Teil dieser Arbeit betrachten, benutzt die Tatsache, daß die gesuchte Lösung der Variationsungleichung approximativ als Projektion der elastischen Spannung auf die deviatorische Ebene dargestellt werden kann. Man bekommt somit ein nicht-lineares Gleichungssystem, das man mittels Newton-Verfahrens löst.</p>