Zur Kohomologie und Spektraltheorie des Hodge-Laplaceoperators von Mannigfaltigkeiten mit gefaserter Spitzenmetrik

Abstract

Eine Mannigfaltigkeit <i>X</i> mit gefaserter Spitzenmetrik kann als Verallgemeinerung der geometrischen Struktur von lokal-symmetrischen Räumen vom <i>Q</i>-Rang Eins angesehen werden.<br /> In der vorliegenden Arbeit wird die Spektraltheorie des Hodge-Laplaceoperators Δ auf dieser Klasse von Mannigfaltigkeiten studiert, mit dem Ziel, ein Theorem vom Hodge-Typ zu beweisen. Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an Arbeiten von W. Müller. <br /> Die spektrale Auflösung des absolutstetigen Raums von Δ wird durch verallgemeinerte Eigenformen gegeben; diesen entsprechen Eisensteinreihen im lokal-symmetrischen Fall. Unter weiteren Bedingungen an die Faserung der "Spitze" von <i>X</i> können sie auf direkte Weise konstruiert werden. Ideen von G. Harder folgend, zeigen wir, dass spezielle singuläre Werte dieser Eigenformen Klassen in der de Rham-Kohomologie <i>H^p(X)</i> definieren. Dies ermöglicht, in Verallgemeinerung des klassischen Hodge-Theorems auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten, Klassen in <i>H^p(X)</i> durch harmonische Formen zu repräsentieren.