Modellierung und Existenztheorie dünner Filme auf evolvierenden Flächen

Abstract

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Modellierung und Existenztheorie von dünnen Filmen inkompressibler, viskoser Flüssigkeiten auf evolvierenden, d.h. sich bewegenden, gekrümmten Flächen. Dünne Filme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf. Dabei steht die Benetzung der Alveolen während dem respiratorischen Zyklus in unserem besonderen Interesse. Weiterhin weiß man, dass oberflächenaktive Substanzen, sogenannte Surfactants, eine lebensnotwendige Rolle bei der Atmung spielen. Aufgrund der Geometrie eines Alveolus und der Dynamik der ständigen Kontraktion und Expansion während der Atmung ist es sinnvoll, dünne Filme und auch das gekoppelte System auf evolvierenden Flächen zu betrachten. In dieser Arbeit zeigen wir, wie eine Erhaltungsgleichung für einen dünnen Film durch Lubrikationsapproximation im schwachen Sinne hergeleitet werden kann und wie wir auf diese Weise eine nichtlineare, degeneriert parabolische Gleichung vierter Ordnung auf einer bewegten Fläche erhalten. Ebenso erhalten wir eine gekoppelte nichtlineare Gleichung für die Dynamik eines unlöslichen Surfactants. Die Hauptaufgabe dieser Arbeit besteht darin, die Existenz von Lösungen dieser Gleichungen zu zeigen. Wir werden einen Existenzsatz für einen dünnen Film auf einem höchstens zweidimensionalen bewegten Substrat sowie einen Existenzsatz für das gekoppelte System von dünnem Film und Surfactant auf einem eindimensionalen bewegten Substrat beweisen. In beiden Fällen sei die Bewegung des Substrats a priori vorgegeben.