Kippmoduln über deriviert speziell biseriellen Algebren

Abstract

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Sei A eine endlich-dimensionale Algebra über K. Ein (klassischer) partieller Kippmodul über A ist ein endlich-dimensionaler A-Modul T der projektiven Dimension kleiner oder gleich 1, der keine Selbsterweiterungen besitzt. Ein partieller Kippmodul T heißt (klassischer) Kippmodul, falls die Anzahl der Isomorphieklassen unzerlegbarer direkter Summanden von T gleich der Anzahl der Isomorphieklassen einfacher A-Moduln ist.<br /> Wir definieren den Köcher der Kippmoduln T(A) über A wie folgt. Die Punkte von T(A) seien die Isomorphieklassen basischer Kippmoduln über A. Seien T,T' Kippmoduln über A. Dann gibt es einen Pfeil von der Isomorphieklasse von T in die Isomorphieklasse von T' in T(A) genau dann, wenn es eine Austauschfolge von T nach T' gibt. Für einen partiellen Kippmodul M sei T(A,M) der volle Unterköcher von T(A) aller Kippmoduln T, die M als direkten Summanden enthalten. <br /><strong>Resultat A</strong>: Wir nennen eine endlich-dimensionale K-Algebra A deriviert speziell biseriell, falls die repetitive Algebra von A speziell biseriell ist. Die Klasse der deriviert speziell biseriellen Algebren ist eine Unterklasse der Fadenalgebren. Sei nun A deriviert speziell biseriell, sei M ein treuer partieller Kippmodul über A. Wir zeigen: <br /> T(A,M) ist zusammenhängend.<br /><strong>Resultat B</strong>: Zu einer endlich-dimensionalen Algebra A betrachten wir die duplizierte Algebra D(A). Sei nun A = KQ / I eine deriviert speziell biserielle Algebra, so dass Q keine orientierten Kreise hat. Sei M ein treuer, projektiver partieller Kippmodul über D(A). Dann ist D(A) speziell biseriell und es gilt: T(D(A),M) ist zusammenhängend. <br /><strong>Resultat C</strong>: Sei B = KQ' / I' eine endlich-dimensionale Algebra über K. Zu einer endlichen Folge i = (i_1,...,i_r) von Punkten in Q' konstruieren wir B-Moduln V_1,...,V_r. Sei V die direkte Summe dieser Moduln. Sei A die entgegengesetze Endomorphismenalgebra von V über B. Dann ist A stark quasi-erblich. Wir betrachten die volle Unterkategorie F(Delta) aller A-Moduln, die eine Delta-Filtration besitzen. Sei T_min der kanonische Kippmodul. Dann gibt es einen gerichteten Weg von der regulären Darstellung über A nach T_min in T(A), so dass alle Kippmoduln, die auf diesem Weg liegen, schon in F(Delta) sind.