A Toolbox to Compute the Cohomology of Arithmetic Groups in Case of the Group Sp2(Z)
Main document (2.7MB)Type of Scholarly Publication
DissertationDate of Exam
30.10.2012Date of Publication
26.03.2013Advisor
Franke, JensCo-Referee
Harder, GünterMetadata
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Abstract
It is the aim of this thesis to present a toolbox of methods which can be used to compute the group cohomology Hq(Sp2(Z), Mλ) of the Siegel modular group Sp2(Z) for a given integer q ≥ 0 and a highest weight module Mλ with respect to a weight λ. Many tools we introduce in this thesis can be applied with minor changes also to groups different from the symplectic group. By some spectral sequence argument we get under some week assumptions an isomorphism
between group cohomology of Sp2(Z) and sheaf cohomology of the sheaf Mλ over S2/Sp2(Z), which is associated to the module Mλ. Here S2 denotes the Siegel upper half-space. The cohomology groups behave very differently for different choices of λ. In particular, those cases are of special interest in number theory, e.g. for Harder's conjecture on eigenvalues of Hecke operators, which have non-vanishing so called cusp cohomology. This happens for the first time for the highest weight module of weight λ=(7,4), which has rank 1820 over the integers, which is not really small.
There are three main branches in this thesis:
Topological Model: It is known by a result of Mark McConnell and Robert MacPherson from the late eighties that there is a Γ'-equivariant deformation retract W of S2 for a neat arithmetic subgroupΓ'⊂Sp2(Z), which has the structure of a regular cell complex, and descends to a 4-dimensional retract W/Γ' of the 6-dimensional space S2/Γ', which has again a cell decomposition. Our first main result is the generalization of this model to the torsion case. To do this we have to replace cells by new objects called orbicells, which are the orbifold equivalent to cells in manifolds, and have very similar properties. We obtain a retract W/Γ' of S2/Γ' for any subgroup Γ'⊂Sp2(Z) of finite index. Each of these retracts has an orbicell decomposition, which derives from the cell decomposition of W. We implemented a computer program in Sage which computes various things related to these decompositions, e.g. closures, stabilizers, and neighbours of cells. We illustrate up to some level - drawing in 4-D is a little bit ambitious - how the building blocks look like.
Highest Weight Modules: It is essential for an efficient computation of the cohomology to be able to perform various actions with and on highest weight modules. Most things are quite simple if a basis is known. However it turned out that the computation of the action of a group element on the module is not that easy. Therefore, our second main result is an algorithm to compute this action. This involves the decomposition of a given group element into generic generators coming from some roots via the morphism between Lie algebras and Lie groups. To obtain the needed decomposition we introduce a structured Gaussian elimination which preserves the symplectic structure.
Compute Cohomology: There is the notion of constructible sheaves due to Alexander Grothendieck and his collaborators, which describes a category of sheaves which are locally constant restricted to objects which cover (in Zariski-sense) a variety. We were able to generalize this category to a category of sheaves on the obtained orbicell decomposition. This construction is quite beautiful, and works in a much more general context. Therefore, we present parts of it not only for W or W/Γ', but for an abstract space with a suitable decomposition and an action of a group. We use this language to get an abstract description of the cohomology groups we are looking for, which later could be used to compute the cohomology.
Finally we discuss the application of this construction to the orbicell decomposition of the deformation retract W/Sp2(Z) of the Siegel modular variety S2/Sp2(Z) and indicate what has to be done to complete the computation of the cohomology of the symplectic group.
Werkzeuge zur Berechnung der Kohomologie arithmetischer Gruppen im Fall der Gruppe Sp2(Z)
Das Ziel dieser Doktorarbeit ist es, einen Werkzeugkausten bereitzustellen, der dazu verwendet werden kann die Kohomologiegruppen Hq(Sp2(Z),Mλ) der Siegelschen Modulgruppe Sp2(Z) für eine gegebene ganze Zahl q ≥ 0 und einen Höchstgewichtsmodul Mλ zu einem Höchstgewicht λ zu berechnen. Viele Hilfsmittel, die wir in dieser Arbeit einführen, können mit geringfügigen Änderungen auch für die Berechnung der Kohomologie anderer Gruppen eingesetzt werden. Unter einigen schwachen Annahmen erhalten wir mittels geeigneter Spektralsequenzen einen Isomorphismus
zwischen der Gruppenkohomologie der Gruppe Sp2(Z) und der Garbenkohomologie der zum Modul Mλ assoziierten Garbe Mλ auf S2/Sp2(Z). Dabei bezeichnet S2 den Siegelschen oberen Halbraum. Die Kohomologiegruppen verhalten sich abhängig vom Gewicht λ recht unterschiedlich. Insbesondere diejenigen Gewichte sind von besonderem zahlentheoretischem Interesse, etwa für Harders Vermutung über die Eigenwerte von Heckeoperatoren, die nicht verschwindende Spitzenkohomologie haben. Der kleinste Höchstgewichtsmodul, für den dies eintritt, ist der Modul zum Gewicht λ=(7,4), der schon Rang 1820 über den ganzen Zahl hat.
Diese Doktorarbeit besteht aus drei Hauptzweigen:
Topologisches Modell: Aus den späten 80er Jahren gibt es ein Ergebnis von Mark McConnell und Robert MacPherson, das besagt, dass es für jede arithmetische Untergruppe Γ ⊂ Sp2(Z), die zusätzlich neat ist, einen G'-äquivarianten Deformationsretrakt W von S2 gibt, der die Struktur eines regulären Zellenkomplexes besitzt. Aus diesem Retrakt erhält man einen 4-dimensionalen Retrakt W/G' des 6-dimensionalen Raumes S2/Γ', der wiederum eine Zellenzerlegung besitzt. Unser erstes Hauptresultat verallgemeinert dieses Modell, so dass es sich auch für Grupppen mit Torsion anwenden lässt. Dazu mussten wir Zellen durch ihr Orbi-foldäquivalent, Orbizellen, die ähnliche Eigenschaften wie Zellen haben, ersetzen. Schlie ßlich erhalten wir einen Retrakt W/G' von S2/Γ' für jede Untergruppe Γ ⊂ Sp2(Z) von endlichem Index. Jeder dieser Retrakte besitzt eine Orbizellzerlegung, die man aus der Zellenzerlegung von W erhält. Wir haben in Sage ein Computerprogramm geschrieben, das verschieden Dinge zu diesen Zerlegungen, wie etwa Abschlüsse, Stabilisatoren oder Nachbarn von Zellen, ausrechnen kann. Wir können auch, soweit es geht - Zeichnen in 4-D ist doch eine gewisse Herausforderung -, die einzelnen Bausteine graphisch darstellen.
Kohomologieberechnung: Es is unerlässlich für eine effektive Berechnung der Kohomologie, verschiedene Operationen auf und mit Höchstgewichtsmoduln durchführen zu können. Das meiste davon ist einfach, sofern man eine Basis des Moduls kennt. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Berechnung der Gruppenwirkung nicht ganz so einfach ist. Somit stellt ein Algorithmus zur Berechnung der Gruppenwirkung das zweite Hauptergebnis dieser Arbeit dar. Zur Berechnung der Gruppenwirkung muss man ein gegebenes Gruppenelement in generische Erzeuger zerlegen, die man aus der Theorie von Liealgebren und deren Beziehung zu Liegruppen erhält. Zur Berechnung der benötigten Zerlegung führen wir dann einen strukturierten Gau ßalgorithmus ein, der die symplektischen Strukturen respektiert.
Kohomologieberechnung: Konstruktible Garben wurden ursprünglich durch Alexander Grothendieck und die Gruppe von Mathematiker um ihn eingeführt. Die Garben dieser Kategorie zeichnen sich dadurch aus, dass sie eingeschränkt auf gewisse Objekte, die die Varietät (im Zariski-Sinn) überdecken, lokal konstant sind. Wir verallgmeinern diese Kategorie zu einer Kategorie von Garben, die man aus einer gegeben (Orbi-) Zellzerlegung erhält. Diese Konstruktion funktioniert auch in einem weitaus allgmeinerem Kontext, so dass wir deren Darstellung nicht auf die Räume W or W/G' beschränken, sondern für einen allgemeinen Raum mit einer geeigneten Zerlegung und Gruppenwirkung darstellen. Wir verwenden diese Sprache, um eine abstrakte Beschreibung der Kohomologiegruppen, die wir berechnen wollen, zu erhalten, die sich für eine spätere praktische Berechnung der Kohomologie bestens eignet.
Zu guter Letzt diskutieren wir noch, wie sich diese Konstruktion auf die von uns eingeführte Orbizellzerlegung des Deformationsretrakts S2/Sp2(Z) der Siegelschen Modulvarietät S2/Sp2(Z) anwenden lässt, und skizzieren, was noch notwendig ist, um die Berechnung der Kohomologie der symplektischen Gruppe zu vervollständigen.
Subjects
Classification (DDC)
510 MathematikOnline-Ausgabe in bonndoc: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:5n-31490
urn: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:5n-31490,
author = {{Jens Frederik Bernhard Putzka}},
title = {A Toolbox to Compute the Cohomology of Arithmetic Groups in Case of the Group Sp2(Z)},
school = {Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn},
year = 2013,
month = mar,
note = {
It is the aim of this thesis to present a toolbox of methods which can be used to compute the group cohomology Hq(Sp2(Z), Mλ) of the Siegel modular group Sp2(Z) for a given integer q ≥ 0 and a highest weight module Mλ with respect to a weight λ. Many tools we introduce in this thesis can be applied with minor changes also to groups different from the symplectic group. By some spectral sequence argument we get under some week assumptions an isomorphism
between group cohomology of Sp2(Z) and sheaf cohomology of the sheaf Mλ over S2/Sp2(Z), which is associated to the module Mλ. Here S2 denotes the Siegel upper half-space. The cohomology groups behave very differently for different choices of λ. In particular, those cases are of special interest in number theory, e.g. for Harder's conjecture on eigenvalues of Hecke operators, which have non-vanishing so called cusp cohomology. This happens for the first time for the highest weight module of weight λ=(7,4), which has rank 1820 over the integers, which is not really small.
There are three main branches in this thesis:
Topological Model: It is known by a result of Mark McConnell and Robert MacPherson from the late eighties that there is a Γ'-equivariant deformation retract W of S2 for a neat arithmetic subgroupΓ'⊂Sp2(Z), which has the structure of a regular cell complex, and descends to a 4-dimensional retract W/Γ' of the 6-dimensional space S2/Γ', which has again a cell decomposition. Our first main result is the generalization of this model to the torsion case. To do this we have to replace cells by new objects called orbicells, which are the orbifold equivalent to cells in manifolds, and have very similar properties. We obtain a retract W/Γ' of S2/Γ' for any subgroup Γ'⊂Sp2(Z) of finite index. Each of these retracts has an orbicell decomposition, which derives from the cell decomposition of W. We implemented a computer program in Sage which computes various things related to these decompositions, e.g. closures, stabilizers, and neighbours of cells. We illustrate up to some level - drawing in 4-D is a little bit ambitious - how the building blocks look like.
Highest Weight Modules: It is essential for an efficient computation of the cohomology to be able to perform various actions with and on highest weight modules. Most things are quite simple if a basis is known. However it turned out that the computation of the action of a group element on the module is not that easy. Therefore, our second main result is an algorithm to compute this action. This involves the decomposition of a given group element into generic generators coming from some roots via the morphism between Lie algebras and Lie groups. To obtain the needed decomposition we introduce a structured Gaussian elimination which preserves the symplectic structure.
Compute Cohomology: There is the notion of constructible sheaves due to Alexander Grothendieck and his collaborators, which describes a category of sheaves which are locally constant restricted to objects which cover (in Zariski-sense) a variety. We were able to generalize this category to a category of sheaves on the obtained orbicell decomposition. This construction is quite beautiful, and works in a much more general context. Therefore, we present parts of it not only for W or W/Γ', but for an abstract space with a suitable decomposition and an action of a group. We use this language to get an abstract description of the cohomology groups we are looking for, which later could be used to compute the cohomology.
Finally we discuss the application of this construction to the orbicell decomposition of the deformation retract W/Sp2(Z) of the Siegel modular variety S2/Sp2(Z) and indicate what has to be done to complete the computation of the cohomology of the symplectic group.
url = {https://hdl.handle.net/20.500.11811/5645}
}
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