Théorie de Bruhat-Tits, grassmanniennes affines et modèles locaux

Abstract

Nous développons la théorie de Bruhat-Tits pour les groupes quasi-réductifs sur les corps discrètement valués, henséliens et excellents, qui se quasi-déploient sur l'henselisé strict. Ensuite, cette théorie est appliquée pour construire certaines familles entières de schémas en groupes immobiliers en caractéristiques égales, généralisant les travaux précédents de Tits et Pappas-Zhu. Au moyen de nos nouvelles connaissances dans la théorie des groupes, nous étudions la géométrie des grassmanniennes affines qui en résultent, lorsque l'une des hypothèses principales des travaux de Pappas-Rapoport et Pappas-Zhu est effacée, à savoir la ramification modérée des groupes dont il s'agit ou que le revêtement universel soit étale en caractéristiques égales. Dans le cas des extensions totalement ramifiées données par un polynôme d'Eisenstein cyclique, il s'avère que les variétés de Schubert sont normaux, dont la démonstration s'appuie sur un raffinement de l'approche originelle de Faltings, et que les fibres spéciales des modèles locaux sont réduites, ce qui remonte au théorème de la cohérence de Zhu. Si le revêtement universel n'est pas étale, alors nous démontrons en collaboration avec T. J. Haines et T. Richarz que les variétés de Schubert ne sont presque jamais normales. Enfin nous étudions les grassmanniennes affines dans le cadre de Scholze-Weinstein, introduisant des modèles locaux faiblement normaux dans le cas de type abélien.

<strong> Bruhat-Tits-Theorie, affine Graßmannsche und lokale Modelle </strong> <br> Die Theorie von Bruhat-Tits wird für diejenigen quasireduktiven Gruppen über ausgezeichneten, Henselschen und diskret bewerteten Körpern ausgearbeitet, die über der strikten Henselisierung quasizerfallen. Anschließend wird diese Theorie angewandt, um gewisse ganzzahlige Familien von Bruhat-Tits-Gruppenschemata in gleicher Charakteristik aufzubauen, die jeweils frühere Konstruktionen von Pappas-Zhu und Tits verallgemeinern. Mithilfe dieser gruppentheoretischen Erkenntnissen werden die geometrischen Eigenschaften affiner Graßmannscher untersucht, die daraus entstehen, wenn eine der Hauptannahmen der Werke von Pappas-Rapoport und Pappas-Zhu entfernt wird, und zwar die zahme Verzweigung der behandelten Gruppen bzw. die Étaleheit der universellen Überlagerung in gleicher Charakteristik. Falls die wild verzweigte Erweiterung durch ein zyklisches Eisenstein-Polynom gegeben ist, gilt die Normalität von Schubertvarietäten, deren Beweis auf eine Verfeinerung eines auf Faltings zurückgehenden Ansatzes basiert, und die Reduziertheit der speziellen Faser lokaler Modelle, die auf Zhus Kohärenzsatzes zurückgeht. Falls die universelle Überlagerung nicht étale ist, wird in Zusammenarbeit mit T. J. Haines und T. Richarz gezeigt, dass Schubertvarietäten üblicherweise nicht normal sind. Schließlich wendet man die mit reinen charakteristikgemischten Methoden aufgebauten perfektoiden affinen Graßmannschen von Scholze-Weinstein an, um schwach normale lokale Modelle in allen Fällen vom abelschen Typ einzuführen.